第1章 基础：逻辑和证明 部分内容
简介
我为什么要写这个呢？因为我信奉一点，纸质材料肯定会丢失的，所以我在尽量将内容转化成电子文档。至于为社么不选择OneNote，有道云笔记之类的，就是想以博客更新的方式催促自己可以坚持下去，过个1年，2年来看自己当初的付出，那是真的会很爽的，特别是希望自己到时候能感受到自己现在的努力或者犯傻。
再来是下面的内容来自哪里呢？来自《离散数学及其应用》。
接着是下面的公式是怎么写的呢？LaTex。
最后就是下面的内容类似我的读书笔记之类的，让我以后需要的时候可以拿来翻翻，所以类似总结，说明很少。
1.1 命题逻辑
∧合取∨析取\wedge 合取 \\ \vee 析取 ∧合取∨析取
p⊕q真值表p \oplus q\ 真值表 p⊕q 真值表
| p | q | 异或 |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
p⟶q真值表/蕴含p \longrightarrow q\ 真值表 / 蕴含 p⟶q 真值表/蕴含
| p | q | 条件语句 |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
可以结合下面的例子来理解：
- p：张生如果高中
- q：张生娶崔莺莺
问，在什么情况下张生食言了？
| 情况 | p | q | 条件语句 |
|---|---|---|---|
| 1 | 张生高中 | 娶崔莺莺 | 张生没有食言 |
| 2 | 张生高中 | 没有娶崔莺莺 | 张生食言了 |
| 3 | 张生没有高中 | 娶崔莺莺 | 张生没有食言，他娶了崔莺莺 |
| 4 | 张生没有高中 | 也没有娶崔莺莺 | 张生本质上没有食言，他的确没高中 |
其中可能有人会在3和4之间纠结，因为觉得3也应该算张生食言了，但是和情况2比较，你觉得哪个更像张生食言了？
逻辑运算优先级
可以这么理解，逆类似负数的符号，优先级肯定是最高的。
接下来的就是合取优先级高于析取。
最后就是蕴含。
1.3 命题等价式
衡等律
p∧T≡pp∨F≡pp\wedge \textbf{T} \equiv p \\ p \vee \textbf{F} \equiv p p∧T≡pp∨F≡p
支配率
p∨T≡Tp∧F≡Fp \vee \textbf{T} \equiv \textbf{T} \\ p \wedge \textbf{F} \equiv \textbf{F} p∨T≡Tp∧F≡F
幂等律
p∧p≡pp∨p≡pp \wedge p \equiv p \\ p \vee p \equiv p p∧p≡pp∨p≡p
双重否定率
¬(¬P)≡p\neg ( \neg P ) \equiv p ¬(¬P)≡p
交换律
p∨q≡q∨pp∧q≡q∧pp \vee q \equiv q \vee p \\ p \wedge q \equiv q \wedge p p∨q≡q∨pp∧q≡q∧p
结合律
(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)( p \wedge q ) \wedge r \equiv p \wedge ( q \wedge r ) \\ ( p \vee q ) \vee r \equiv p \vee ( q \vee r ) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
分配率
(p∨r)∧(q∨r)≡(p∧q)∨r(p∧r)∨(q∧r)≡(p∨q)∧r(p \vee r) \wedge (q \vee r) \equiv ( p \wedge q ) \vee r \\ (p \wedge r) \vee (q \wedge r) \equiv ( p \vee q ) \wedge r (p∨r)∧(q∨r)≡(p∧q)∨r(p∧r)∨(q∧r)≡(p∨q)∧r
德 摩根率
¬(p∧q)≡(¬p)∨(¬q)¬(p∨q)≡(¬p)∧(¬q)\neg ( p \wedge q ) \equiv (\neg p) \vee (\neg q) \\ \neg ( p \vee q ) \equiv (\neg p) \wedge (\neg q) ¬(p∧q)≡(¬p)∨(¬q)¬(p∨q)≡(¬p)∧(¬q)
吸收率
p∨(p∧q)≡pp∧(p∨q)≡pp \vee (p \wedge q) \equiv p \\ p \wedge (p \vee q) \equiv p p∨(p∧q)≡pp∧(p∨q)≡p
否定率
p∨¬p≡Tp∧¬p≡Fp \vee \neg p \equiv \textbf{T} \\ p \wedge \neg p \equiv \textbf{F} p∨¬p≡Tp∧¬p≡F
1.4 量词和谓词
量词
∀xP(x)\forall x\ \textbf{P}(x) ∀x P(x)
全称量词：对于所有x，P(x)都为真。但是如果存在一个x，使得P(x)为假，上面的命题就是假的。
∃xP(x)\exists x \textbf{P}(x) ∃xP(x)
存在量词：至少存在一个x，使得P(x)为真。当对于每一个x，P(x)为真时，上面的命题就是假的。
∃!∃1\exists ! \\ {\exists}_{1} ∃!∃1
上面的代表唯一性量词，代表x仅有一个值能使P(x)为真。
优先级注意事项
∀xP(x)∨Q(x)≡(∀xP(x))∨(Q(x))而不是∀x(P(x)∨Q(x)))\forall x \textbf{P}(x) \vee \textbf{Q}(x) \equiv (\forall x \textbf{P}(x))\ \vee\ (\textbf{Q}(x)) \\ 而不是\\ \forall x (\textbf{P}(x)\ \vee\ \textbf{Q}(x))) ∀xP(x)∨Q(x)≡(∀xP(x)) ∨ (Q(x))而不是∀x(P(x) ∨ Q(x)))
还有一种常见的表现形式：
∀x<0(x2>0)\forall x < 0\ ({x}^{2}>0) ∀x<0 (x2>0)
代表的含义就是对于所有的x<0，x的平方大于0。
量词的否定，即量词的德 摩根率
¬∀xP(x)≡∃x¬P(x)\neg \forall x \textbf{P}(x)\ \equiv \exists x\ \neg\textbf{P}(x) ¬∀xP(x) ≡∃x ¬P(x)
上面的含义就是对于所有x，P(x)为真的逆就是存在x，使得p(x)为假。
同理。
¬∃xP(x)≡∀x¬P(x)\neg \exists x \textbf{P}(x) \equiv \forall x \neg\textbf{P(x)} ¬∃xP(x)≡∀x¬P(x)
存在x，使得p(x)为真的逆就是没有x，使得p(x)为真，即对于所有x，p(x)为假。
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