青蛙过河程序及其解析
题目：一条小溪上7块石头，如图所示：
分别有六只青蛙：A，B，C，D，E，F。A，B，C三只蛙想去右岸，它们只会从左向右跳；D，E，F三只蛙想去左岸，它们只会从右向左跳。青蛙每次最多跳到自己前方第2块石头上。请问最少要跳几次所有青蛙上岸。写出步骤。
这个题是个路径搜索的问题，在解空间搜索所有的解，并找出最优的解法（即步骤最少的）。
那么怎么算是一个解呢？具体而言就是最后石头上没有青蛙了。
我们先给题目建模，7块石头，其上可以是没青蛙，可以有一只往左跳的青蛙，也可以有一只往右跳的青蛙。可以把这7块石头看成一个整体，来表示一个状态。这里我们把这7块石头看成一个数组，里面只能有0,1,2三种值，这样表示，那么初始时为：
我们把它再表示成一个数字，来表示状态值，这个值把这个数组按三进制拼成一个数字，我们用一个辅助函数来做这件事情：
int r = 0 ;
int p = 1 ;
for ( int i = 0 ;i < 7 ;i ++ )
{
r += p * states[i];
p *= 3 ;
}
return r;
}
那么题目现在变成从状态111022转换成状态0000000，所需最少的步骤.
那么状态是怎样转换的呢？
很显然。，每次青蛙跳都会触发状态的转换，我们在每个状态时搜索每种可能的转换，我们记初始状态为S(S等于三进制111022）记要求解的值为OPT(S),假如可以转换到t1,t2,...tk.
那么，显然
另外，由于最终状态为0,所以OPT(0)=0,就是说已经在最终状态了，就不需要一步就可以了。
有了上面这个等式，我们可以递归求解了，但是如果单纯的递归，会导致大量的重复计算，所以这里我们用备忘录的方法，记下已经求解出来的OPT(x),放在一个数组里，由于只有7块石头，所以最多我们需要3^7=2187个状态。我们用一个2187个元素的数组, 其中第i个元素表示OPT(i)，初始化每个元素用-1表示还未求解。OPT(0) 可直接初始化为0.
到此我们还有一个问题，怎么能够在算法结束的时候打印出最优的步骤呢？按照这个步骤，我们可以重建出青蛙是如何在最优的情况下过河的。为此，我们可以再用一个步骤数组，每次在采取最优步骤的时候记录下来。
整个算法如下：
import java.util.Arrays;
/**
*
* @author Yovn
*
*/
public class FrogJump {
private int steps[];
private int states[];
private static class Step
{
int offset=-1;
int jump;
int jumpTo;
}
private Step jumps[];
private int initS;
public FrogJump()
{
steps=new int[81*27];
states=new int[7];
for(int i=0;i<3;i++)states[i]=1;
for(int i=4;i<7;i++)states[i]=2;
Arrays.fill(steps, -1);
steps[0]=0;
jumps=new Step[81*27];
initS=makeS();
}
public int shortestSteps(int s)
{
if(steps[s]==-1)
{
int minStep=Integer.MAX_VALUE;
Step oneStep=new Step();
for(int i=0;i<7;i++)
{
if(states[i]==1)
{
if(i>4)
{
states[i]=0;
minStep = recurFind(minStep,oneStep,i,7-i);
states[i]=1;
}
else
{
if(states[i+1]==0)
{
states[i]=0;
states[i+1]=1;
minStep = recurFind(minStep,oneStep,i,1);
states[i]=1;
states[i+1]=0;
}
if(states[i+2]==0)
{
states[i]=0;
states[i+2]=1;
minStep = recurFind(minStep,oneStep,i,2);
states[i]=1;
states[i+2]=0;
}
}
}
else if(states[i]==2)
{
if(i<2)
{
states[i]=0;
minStep = recurFind(minStep,oneStep,i,-1-i);
states[i]=2;
}
else
{
if(states[i-1]==0)
{
states[i]=0;
states[i-1]=2;
minStep = recurFind(minStep,oneStep,i,-1);
states[i]=2;
states[i-1]=0;
}
if(states[i-2]==0)
{
states[i]=0;
states[i-2]=2;
minStep = recurFind(minStep,oneStep,i,-2);
states[i]=2;
states[i-2]=0;
}
}
}
}
steps[s]=minStep;
jumps[s]=oneStep;
}
return steps[s];
}
private final int recurFind(int minStep, Step oneStep, int pos, int jump) {
int toS=makeS();
int r=shortestSteps(toS);
if(r<minStep-1)
{
oneStep.jump=jump;
oneStep.offset=pos;
oneStep.jumpTo=toS;
minStep=r+1;
}
return minStep;
}
public void printPath()
{
int s=initS;
int i=1;
while(s!=0)
{
System.out.println("["+(i++)+"] Frog at #"+jumps[s].offset+" jumps #"+jumps[s].jump);
s=jumps[s].jumpTo;
}
}
private final int makeS() {
int r=0;
int p=1;
for(int i=0;i<7;i++)
{
r+=p*states[i];
p*=3;
}
return r;
}
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
FrogJump fj=new FrogJump();
int steps=fj.shortestSteps(fj.initS);
System.out.println("use "+steps+" steps!");
fj.printPath();
}
}
运行结果：(#1表示向右跳一步，#-2表示向左跳二步。）
[ 1 ] Frog at # 2 jumps # 1
[ 2 ] Frog at # 4 jumps # - 2
[ 3 ] Frog at # 5 jumps # - 1
[ 4 ] Frog at # 3 jumps # 2
[ 5 ] Frog at # 1 jumps # 2
[ 6 ] Frog at # 0 jumps # 1
[ 7 ] Frog at # 2 jumps # - 2
[ 8 ] Frog at # 0 jumps # - 1
[ 9 ] Frog at # 4 jumps # - 2
[ 10 ] Frog at # 2 jumps # - 2
[ 11 ] Frog at # 0 jumps # - 1
[ 12 ] Frog at # 5 jumps # 2
[ 13 ] Frog at # 3 jumps # 2
[ 14 ] Frog at # 1 jumps # 2
[ 15 ] Frog at # 5 jumps # 2
[ 16 ] Frog at # 3 jumps # 2
[ 17 ] Frog at # 5 jumps # 2
[ 18 ] Frog at # 6 jumps # - 1
[ 19 ] Frog at # 5 jumps # - 2
[ 20 ] Frog at # 3 jumps # - 2
[ 21 ] Frog at # 1 jumps # - 2
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