MBA-day28 数的概念-练习题

1. 常见：实数、有理数、无理数、整数、自然数的概念

实数：分为有理数和无理数（无限不循环小数）
有理数：正有理数，0，负有理数
无理数：正无理数，负无理数（常数1. 常数:Π=3.141596…，E=2.7817…2. 开方开不尽：√(2)=1.414…3. 取不尽的对数:Log(2)=0.3010…）
整数：正整数，0，负整数
自然数：0，正整数

2. 质数和合数

质数：只能分解1和本身的2个约数的正整数，例如 7，11
合数：除了1和本身还有别的约数的正整数，例如 9,12
质数和合数如下重要性质

1. 20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19
2. 2 是唯一的偶质数，其他质数都奇数(除了最小质数2是偶数，其他质数都是奇数)
3. 最小的质数是2
4. 任何一个合数均能被分解为质数相乘。例如8=2*2*2

互质数
公约数只有1的两个数称为互质数，例如9和16

3. 奇数与偶数

奇数：不能被2整除的数
偶数：能被2整除的数，其中0是偶数
整数Z = 奇数和偶数 = 2n+1 和 2n

注意：两个相邻整数必为一奇一偶，除了最小质数2是偶数，其他质数都是奇数

性质
同为偶数，异为奇数

奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 偶数 = 偶数
奇数 + 偶数 = 奇数

考点

【】+【】=奇数，则必为 一奇数一偶数
【】+【】+【】=奇数，则全为奇数，或 二偶数一奇数
【】+【】+【】=偶数，则全为偶数，或 二奇数一偶数
质数+质数=质数，则必有2
质数*质数=偶数，则必有2

4. 整除、倍数、约数

数的整除
最大公约数,例如(8, 12, 24) 约数为（2, 4）, 其中最大公约数为4
最小公倍数，例如[8, 12, 24, 48],倍数为(48,96…)，其中最小公倍数48
最小公倍数的求法

例如[12, 15]3 |12, 15-------4  5
最小公倍数：3*4*5 = 60a * b = [a, b]*(a, b) = 最小公倍数*最大公约数 = 60 * 3

分解质因式法
求[8,27,36,35]的最小公倍数

相同因式要最多，再乘以独有的因式8=2*2*2*2
27=3*3*3
36=2*2*3*3
35=5*7[8,27,36,35]=2*2*2*2 * 3*3*3 * 5*7

常见整除的特点

能被2整除的数：个位为偶数 0,2,4,6,8
能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除
能被9整除的数：个数位数字之和必能被9整除
能被5整除的数：个位数位0或5
能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件，或能被3整除的偶数
能被10整除的数：个位必为0
能被11整除的数：从右向左，奇数数字之和减去偶数位数字之和能被11整除（包括0）

例如：
3949 -> [(9+9) - (3+4) ]/ 11 = 1,即满足能被11整除的数
286 -> [(2+6) - 8] / 11 = 0,即满足能被11整除的数

例题1:

设m,n 是小于20的质数，满足条件|m-n| = 2 的集合{m,n}和组合(m,n)分别有几组？

答：4和8组

解：小于20的质数分别如下
-> 2,3,5,7,11,13,17,19
满足条件|m-n| = 2
集合有4组分别为：{3,5};{5,7};{11,13};{17,19}
组合有8组分别为：(3,5);(5,3);(5,7);(7,5);(11,13);(13,11);(17,19);(19,17)集合知识点拓展：
1.集合特性：确定性，无序性，互异性
2.子集：集合A范围大于或等于集合B,B是A的子集
3.真子集：集合A范围比B大,B是A的真子集

例题2

若几个质数(素数)的乘积为770,求他们的和为多少?

答:25

解:
->质数:2,3,5,7....除了2是偶数,其余为奇数,即必有2
->质数乘积:770 分解为质数相乘
770 = 77 * 10 = 11 * 7 * 5 * 2
故他们的和为=11+7+5+2 = 25

例题3

某人左右两手分别握了若干石头, 左手张石头数乘3加上右手中石头数乘4之和为29,求右手中石头数?

A:奇数
B:偶数
C:质数
D:合数
E:以上都不正确

答:C

解:
设左右手的石头数分别为a,b
3a + 4b = 29
奇数+偶数 = 奇数
特值法:
b = 1, a 不为整数,不满足
b = 2, a = 7
b = 3, a 不为整数,不满足
b = 4, a 不为整数,不满足
b = 5, a = 3
b = 6, a 不为整数,不满足
b = 7, 大于29
故右手中石头数为2或5,为质数

例题4

利用长度为a和b的两种管材能连接成长度为37的管道,求如下条件充分性.
1)a = 3, b = 5
2)a = 4, b = 6

答:条件1充分,条件2不充分

解:
分别设a,b管需要x,y根才能连接成为 37 米管道
1)a = 3, b = 5
3x + 5y = 37
奇数+奇数 = 奇数
先从大的数开始算:
y = 1, 3, 5, 7, 11
y = 5, x = 4 可以满足题干条件2)2)a = 4, b = 6
4x + 6y = 37,很明显,偶数+偶数 不可能得到奇数故:条件1充分,条件2不充分

例题5

两个正整数甲数和乙数的最大公约数是6,最小公倍数是90,如果甲数是18,那么乙数是m,求m的各个数位之和?

答:3

解:
利用公式:a,b 表示2个正整数,两个数的乘积关系:a x b = 最大公约数(a,b) x 最小公倍数[a,b]
18 x m = 6 * 90
m = 30故m的各个数位之和=3+0 = 3

例题6

甲乙丙三人沿着200米的环形跑道跑步,甲跑完一圈需要1分30秒,乙跑完一圈需要1分20秒,丙跑完一圈需要1分12秒
三人同时同向同地起跑,当三人第一次在出发点相遇时,求甲乙丙三人各跑的圈数之和?

答:25圈

解:
甲跑完一圈时间:90
乙跑完一圈时间:80
丙跑完一圈时间:72三人同时同向同地起跑,当三人第一次在出发点相遇时
-> 说明三人相遇的时间是t是一样的
-> 第一次表示t为三个人时间的最小公倍数
90 = 9 * 10
80 = 8 * 10
72 = 9 * 8
最小公倍数=9 * 8 * 10 = 720
-> 甲乙丙圈和 = 720/90 + 720/80 + 720/72
= 8 + 9 + 10 = 25

例题6

有两个两位数,这两个两位数的最大公约数和最小公倍数的和是91,最小公倍数是最大公约数的12倍,则这两个数中较大的数是()

正确答案为28,我算出来的是42?奇怪了

解:
最大公约数(a,b) + 最小公倍数[a,b] = 91
最小公倍数[a,b]= 12 x 最大公约数(a,b)
-> 13 x 最大公约数(a,b) = 91
-> 最大公约数(a,b) = 7
-> 最小公倍数[a,b] = 84
其中数值需要满足两位数,故如下关系可满足:
最大公约数(a,b) * 最小公倍数[a,b] = a * b
= 7 * 84 = 7 * 2 * 42 = 14 * 42,即为(14,42)
= 7 * 84 = 7 * 3 * 24 = 21 * 28,即为(21,28)

即两个数中较大的数是 42

例题7

已知两个自然数的平方和为900,他们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432.求这2个自然数之和()
答:42

解:
自然数:0 和正整数
平方和为900:a^2 + b^2 = 900
->(a + b)^2 - 2ab = 900由最大公约数(a,b) * 最小公倍数[a,b] = a * b = 432
->(a + b)^2 - 864 = 900
= (a + b)^2 = 1764 = 2 * 882 = 2 * 2 * 441 = 2 * 2 * 3 * 147 = 2 * 2* 3 * 3 * 7 * 7
= (a + b)^2= (2*3*7)^2
即a + b = 42

例题8

甲乙两人的岁数之和是一个两位数,这个两位数是一个质数,这个质数的各个数位之和是13,甲比乙也刚好大13岁,那么甲乙两人的岁数之积是多少?

答:1080

解:
设甲乙两人的岁数分别为a, b
a + b = (11~97 内的质数)
a = b + 13
->2b+13 = (11~97 内的质数)
2b+13 = (15~97 内的质数)
15,17,19,23,29,31,37,39,41,43,47,51,53,57,59,61,(67),71,73,79,83,87,91,93,97
只有67满足各个数位之和是13
故2b + 13 = 67
b = 27
a = 40
故两人的岁数之积是 27 * 40 = 1080

例题9

三根铁丝，长度分别是 120 厘米，180 厘米， 300 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成（）段。

答：最少可截成（10）段

解：
考察最大公约数10 |120 180 300------------6 |12   18 30-----------2   3  5
现在要把它们截成相等的小段, 每段60厘米
长度分别是 120 厘米，180 厘米， 300 厘米,分别可以截：120/60， 180/60, 300/60
即2， 3， 5，即最少可截成 10 段

例题10

已知三个整数a, b, c 的和是奇数，并且a - b = 3, 那么a,b,c的奇偶性为（）

A 三个都是奇数
B 两个奇数一个偶数
C 一个奇数两个偶数
D 三个都是偶数
E 无法确定

答：C

解：
a + b + c = 奇数(全部奇数或2偶数+1奇数)
a - b = 3 （a > b， 一奇一偶）
即：一个奇数两个偶数

例题11

正整数 m 除以 15 的余数为2
1）正整数 m 除以 3 的余数为 2
2）正整数 m 除以 5 的余数为 2

答：即条件1和条件2单独不充分，条件1和条件2联合起来充分

解：
1）正整数 m 除以 3 的余数为 2
例如8，无法推出:正整数 m 除以 15 的余数为22）正整数 m 除以 5 的余数为 2
例如7，无法推出:正整数 m 除以 15 的余数为21)和2）联合，则说明m至少是15的倍数+2，例如17， 满足即条件1和条件2单独不充分，条件1和条件2联合起来充分

例题12

三人年龄的和一定是奇数。
1）三人年龄为互不相同的合数
2）三人年龄为互不相同的质数

答：条件1单独不充分，条件2单独不充分，联合也推不出

解：
A + B + C = 奇数
满足的情况：
偶数+偶数+奇数 = 奇数
奇数+奇数+奇数 = 奇数1）三人年龄为互不相同的合数
合数：除了1和本身还有别的约数的正整数，例如 9,12
6+9+12=奇数，满足偶数+偶数+奇数 = 奇数
9+27+6=42，偶数，单独推不出三人年龄的和一定是奇数2) 三人年龄为互不相同的质数
质数：2,3,5,7,11,13,17,19
2+3+5 = 10（偶数）, 不满足三人年龄为互不相同的质数,单独推不出三人年龄的和一定是奇数答：条件1单独不充分，条件2单独不充分，联合也推不出

例题13

一箱书，平均分给6个小朋友，多余1本。平均分给8个小朋友，也多余1本。平均分给9个小朋友，也多余一本。这箱最少有m本，则m的各个数位之和为（）

答：10

解：6|m---1
最小:m/6 + 1,例如7,498|m---1
最小:m/8 + 1，例如9,489|m---1
最小:m/9 + 1，例如10说明都可以被6, 8, 9整除得余数1, m = 6 * 8 * 9 + 1 = 433，各个数位之和为=4+3+3= 10