【通俗易懂】无线通信读书笔记02(自由空间路径损耗、两径模型)

自由空间路径损耗

LoS信道：发射机和接收机之间无障碍，信号可沿直线传播的信道。

接收信号表达式： $r(t)=Re\begin{Bmatrix} \frac{\lambda \sqrt G_l e^{-j2 \pi d/ \lambda}}{4\pi d} u(t) e^{-j2 \pi f_c t} \end{Bmatrix}.$

自由空间路径损耗公式： $P_L dB=10 log_{10}\frac{P_t}{P_r}=-10 log_{10}[\frac{\sqrt G_l \lambda}{4\pi d}]^2=-10 log_{10}\frac{G_l \lambda^2}{(4\pi d)^2}.$

公式分析：接收功率与收发天线间的距离d的平方成反比，与波长平方成正比。

射线跟踪模型

两径模型

概述：反映地面反射波和直射波的干涉引起的信号变化。

适用范围：少量反射体的孤立区域，如道路等。

接收信号：（1）经自由空间到达接收端的直射分量（2）经地面反射到达接收端的反射分量

接收示意图：

接收信号表达式：

$r_{2-ray}(t)=Re\begin{Bmatrix} [\frac{\lambda \sqrt G_l u(t) e^{-j2\pi l/ \lambda})}{4\pi l}+\frac{\lambda R \sqrt G_r u(t- \tau) e^{-j2\pi (x+x')/ \lambda})}{4\pi (x+x')}]e^{j2\pi f_c t} \end{Bmatrix}.$

分析：

第一项即为自由空间路径损耗对应的接收信号，这里不再赘述。

第二项即为经地面反射到达接收端的反射分量。首先了解各参数的物理意义：

a. $\frac{\lambda \sqrt G_r e^{-j2\pi (x+x')/ \lambda}}{4\pi (x+x')}$ 即是自由空间路径损耗引入的复数因子，这里的 $\sqrt G_r=\sqrt {G_a G_b}$ ，即直射方向上发射和接收天线增益的乘积。

b. $R$ 为地面反射系数。

c. $u(t-\tau)$ 是 $u(t)$ 经过时延 $\tau = \frac{x+x'-l}{c}$ 后的信号，这里的时延即为两径模型的时延扩展。

在了解了参数以后，我们假设以下场景：

若发射信号相对时延扩展是窄带的，即 $\tau << \frac{1}{B_u}$ ，则 $u(t) \approx u(t-\tau)$ 。在此条件下，接收功率为

$P_r= P_t [\frac{\lambda}{4\pi}]^2|\frac{\sqrt{G_l}}{l}+\frac{R \sqrt{G_l} e^{-j \Delta \psi }}{x+x'}|^2.$

其中 $\Delta \psi$ 是直射信号和反射信号的相位差，当 $d>>h_t h_r$ 时，有[证明见注]

$\Delta \psi=\frac{2\pi(x+x'-l)}{\lambda}\approx \frac{4\pi h_t h_r}{\lambda d}.$

地面反射系数R满足以下式子：

$R=\frac{sin\theta-Z}{sin\theta +Z},$

其中

$Z=\begin{cases} \sqrt{\xi_r-cos^2 \theta/\xi_r} & \text{ vertical polarization} \\ \sqrt{\xi_r-cos^2 \theta} & \text{ horizontal polarization} \end{cases}$

$\xi_r$ 为大地介电常数，约等于15。

d充分大的时候， $x+x' \approx l \approx d$ 、 $\theta \approx 0$ 、 $G_t = G_r$ 、 $R \approx -1$ 。接收功率近似为

$P_r \approx [\frac{\lambda \sqrt G_l}{4\pi d}]^2[\frac{4\pi h_th_r}{\lambda d}]^2 P_t=[\frac{\sqrt G_l h_th_r}{d^2}]^2 P_t.$

可以看到， $d$ 充分大时，接收功率与 $d^4$ 成反比，与波长 $\lambda$ 无关。直射路径和反射路径实际上等效形成了一个天线阵列。下图展示接收功率随距离变化的曲线。该曲线的变化可分为三个阶段，第一阶段( $d<h_t$ )，直射和反射路径正向叠加，接收功率缓慢增加。第二阶段( $h_t < d < d_c$ )，此时两路电波干涉会形成一系列极大值极小值（该情形被称为小尺度衰落）。第三阶段，两路径分量相位差近似为 $\pi$ ，因而反相叠加，接收功率随 $d^{-4}$ 下降。图中三段折线(虚线)是为了描述出各个阶段的趋势。

总结：两径模型通常较少应用于实际当中，因为蜂窝系统中的电波传播很少符合两径模型，其他所有方向上的多径分量相互抵消，仅剩地面反射波和直射波的概率极小。

[注]证明：

由几何关系得

$x+x'+l=\sqrt{(h_t+h_r)^2+d^2}-\sqrt{(h_t-h_r)^2+d^2}=\frac{4h_th_r}{\sqrt{(h_t+h_r)^2+d^2}+\sqrt{(h_t-h_r)^2+d^2}}.$

当 $d>>h_t+h_r$ 时，上式 $\approx \frac{4h_th_r}{2d}=\frac{2h_th_r}{d}$

$\therefore \Delta \psi=\frac{2\pi(x+x'-l)}{\lambda}\approx \frac{4\pi h_t h_r}{\lambda d}.$

参考文献

[美]A. Goldsmith. 无线通信[M]. 杨鸿文, 李卫东, 郭文彬. 北京: 人民邮电出版社, 2007.