一个与小球碰撞有关的有趣问题

-一个与小球碰撞有关的问题

-本人学号：16340300

-本人学院：数据科学与计算机学院

看看这个问题
如何解决
解法

看看这个问题

如图，在光滑水平面上，有一个球A向墙运动，速度垂直于墙面，A和墙之间的连线上停着另一个小球B。假设球与球，球与墙之间的碰撞均为完全弹性的，当A的质量是B的10^2n倍时，球与球、球与墙之间一共发生了多少次碰撞？这个图画的并不好，两个球大小完全一致可以看成质点。

如何解决？

实际上，经过试验可以得出：

两球质量相等时，共发生3次碰撞。
当A的质量是B的10000倍时，共碰撞314次。
当A的质量是B的1000000倍时，共碰撞3141次。
当A的质量是B的1亿倍时，共碰撞31415次。
显然碰撞次数和圆周率有关，那么该如何解释这个关系呢？

解法

这里提供一种通俗易懂的解法，还有许多解法读者可以自己去考虑。
设大小球的质量比为N, Vi V_i 为大球速度， vi v_i 为小球速度,由能量守恒:

1/2NV2i+1/2v2i=1/2NV2i−1+1/2v2i

1/2NV_i^2+1/2v_i^2=1/2NV_{i-1}^2+1/2v_i^2
可以得到 V2i+(vi/N−−√)2 V_i^2+(v_i/\sqrt N)^2是定值，也就是 (Vi,vi/N−−√) (V_i,v_i/\sqrt N)在一个圆上。

设其为单位圆，记为 (Vi,vi/N−−√)=(cosa,sinb) (V_i,v_i/\sqrt N)=(cosa,sinb),由动量守恒有:

N−−√cosa+sina=N−−√cosb−sinb

\sqrt Ncosa+sina=\sqrt Ncosb-sinb化简得:

N−−√=cot((a−b)/2)

\sqrt N=cot((a-b)/2)对于任意的i，碰撞前后a和b的差是定值（由质量比N决定）。所以把 (Vi,vi/N−−√) \left( V_{i},v_{i}/\sqrt{N} \right)在圆上依次画出来之后，这个点每次移动的角度是固定的。
起始的点是（1,0），终止的情况是这个点第一次跨入第三象限的刹那（当小球在某次碰撞后仍然向右走，那么过程停止）（确切的说，是跨过射线 (−1,1N√) \left( -1,\frac{1}{\sqrt{N}} \right) 之后终止，在极限情况下趋近于x轴负半轴），转过的角度是固定的，因此必然会跟 π \pi 相关。
在 N→∞ N\rightarrow \infty 时， Δθ=2arctan1N√∼2N√ \Delta \theta =2arctan\frac{1}{\sqrt{N}}\sim \frac{2}{\sqrt{N}}
球之间碰撞的次数

n≈π2/N−−√

n\approx \frac{\pi}{2/\sqrt{N} }
总碰撞次数

m=2n−1≈πN−−√

m=2n-1\approx \pi \sqrt{N} 由此可以解出答案。

参考链接
https://link.zhihu.com/?target=http%3A//math.stackexchange.com/questions/138289/intuitive-reasoning-behind-pis-appearance-in-bouncing-balls()