灰色预测模型

什么是灰色预测
G M ( 1 , 1 ) 模型 : G r e y M o d e l GM(1,1)模型:Grey Model GM(1,1)模型:GreyModel
- 原理解释
- 画出数据对应的图像
- 最小二乘法OLS的介绍
- GM(1,1)原理介绍
- - 一次微分方程
- 准指数规律检验
- GM(1,1)模型检验
- - 残差检验
  - 级比偏差检验
- GM(1,1)的拓展
什么时候使用灰色预测

什么是灰色预测

灰色预测是对既有已知信息和不确定信息的系统进行预测

G M ( 1 , 1 ) 模型 : G r e y M o d e l GM(1,1)模型:Grey Model GM(1,1)模型:GreyModel

GM(1,1)使用原始的离散非负数据,一次累加生成削弱随机性的比较有规律的新的离散数据列,建立微分方程模型,得到近似估计

原理解释

x ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) , x ( 0 ) ( 2 ) , . . . , x ( 0 ) ( n ) ) 是原始数据 , 进行累加之后得到新的数据列 x ( 1 ) ( x ( 0 ) 的 1 − A G O 序列 ) ( a c c u m u l a t i n g g e n e r a t i o n o p e r a t o r ) x ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) , x ( 1 ) ( 2 ) , . . . , x ( 1 ) ( n ) ) x ( 1 ) ( m ) = ∑ i = 1 m x ( 0 ) ( i ) , m = 1 , 2 , . . , n 再绘制紧邻均值生成数列 z ( 1 ) = ( z ( 1 ) ( 2 ) , z ( 1 ) ( 3 ) , . . . , x ( 1 ) ( n ) ) 有 z ( 1 ) ( m ) = δ x ( 1 ) ( m ) + ( 1 − δ ) x ( 1 ) ( m − 1 ) , m = 2 , . . , n 且 δ = 0.5 x^{\left( 0 \right)}=\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right) ,...,x^{\left( 0 \right)}\left( n \right) \right) \text{是原始数据},\text{进行累加之后得到新的数据列} \\ x^{\left( 1 \right)}\left( x^{\left( 0 \right)}\text{的}1-AGO\text{序列} \right) \left( accumulating\,\,generation\,\,operator \right) \\ \,\, x^{\left( 1 \right)}=\left( x^{\left( 1 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) ,...,x^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \right) \\ x^{\left( 1 \right)}\left( m \right) =\sum_{i=1}^m{x^{\left( 0 \right)}\left( i \right) ,m=1,2,..,n} \\ \text{再绘制紧邻均值生成数列} z^{\left( 1 \right)}=\left( z^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) ,z^{\left( 1 \right)}\left( 3 \right) ,...,x^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \right) \\ \text{有} z^{\left( 1 \right)}\left( m \right) =\delta x^{\left( 1 \right)}\left( m \right) +\left( 1-\delta \right) x^{\left( 1 \right)}\left( m-1 \right) ,m=2,..,n\text{且}\delta =0.5 x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))是原始数据,进行累加之后得到新的数据列x(1)(x(0)的1−AGO序列)(accumulatinggenerationoperator)x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),...,x(1)(n))x(1)(m)=i=1∑mx(0)(i),m=1,2,..,n再绘制紧邻均值生成数列z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),...,x(1)(n))有z(1)(m)=δx(1)(m)+(1−δ)x(1)(m−1),m=2,..,n且δ=0.5
设计离散型微分方程 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) +az^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =b x(0)(k)+az(1)(k)=b,其中 b b b是灰作用量, − a -a −a表示发展系数
根据上面的式子 x ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) , x ( 0 ) ( 2 ) , . . . , x ( 0 ) ( n ) ) x^{\left( 0 \right)}=\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right) ,...,x^{\left( 0 \right)}\left( n \right) \right) x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))
可以知道通过矩阵的形式写成 u = ( a , b ) T , Y = [ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ] , B = [ − z ( 1 ) ( 2 ) 1 − z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ − z ( 1 ) ( n ) 1 ] u=\left( a,b \right) ^T,Y=\left[ \begin{array}{c} x^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right)\\ x^{\left( 0 \right)}\left( 3 \right)\\ \vdots\\ x^{\left( 0 \right)}\left( \begin{array}{c} n\\ \end{array} \right)\\ \end{array} \right] ,B=\left[ \begin{array}{c} -z^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) \,\,1\\ -z^{\left( 1 \right)}\left( 3 \right) \,\,1\\ \vdots\\ -z^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \,\,1\\ \end{array} \right] u=(a,b)T,Y=⎣ ⎡x(0)(2)x(0)(3)⋮x(0)(n)⎦ ⎤,B=⎣ ⎡−z(1)(2)1−z(1)(3)1⋮−z(1)(n)1⎦ ⎤
将式子改写称为 Y = B u Y=Bu Y=Bu
使用最小二乘法得到a,b的估计值 u ^ = ( a ^ b ^ ) = ( B T B ) − 1 B T Y \hat{u}=\left( \begin{array}{c} \hat{a}\\ \hat{b}\\ \end{array} \right) =\left( B^TB \right) ^{-1}B^TY u^=(a^b^)=(BTB)−1BTY
可以将累次序列 x ( 0 ) x^{\left( 0 \right)} x(0)看作因变量,将 z ( 1 ) z^{\left( 1 \right)} z(1)视为自变量

画出数据对应的图像

以2022年辽宁省省赛的数据为例绘制如下图像

画出如下图像

最小二乘法OLS的介绍

y i = k x i + b + u i k ^ , b ^ = arg ⁡ min ⁡ k , b u ^ i 2 = arg ⁡ min ⁡ k , b ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 令 L = ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 = [ y 1 − k x 1 − b , y 2 − k x 2 − b , ⋯ , y n − k x n − b ] [ y 1 − k x 1 − b y 2 − k x 2 − b ⋮ y n − k x n − b ] \begin{array}{c} \begin{array}{l} y_{i}=k x_{i}+b+u_{i} \\ \hat{k}, \hat{b}=\underset{k, b}{\arg \min } \hat{u}_{i}^{2}=\underset{k, b}{\arg \min } \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-k x_{i}-b\right)^{2} \\ \text { 令 } L=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-k x_{i}-b\right)^{2}=\left[y_{1}-k x_{1}-b, y_{2}-k x_{2}-b, \cdots, y_{n}-k x_{n}-b\right]\left [\begin{array}{c} y_{1}-k x_{1}-b \\ y_{2}-k x_{2}-b \\ \vdots \\ y_{n}-k x_{n}-b \end{array}\right] \end{array} \end{array} yi=kxi+b+uik^,b^=k,bargminu^i2=k,bargmin∑i=1n(yi−kxi−b)2 令 L=∑i=1n(yi−kxi−b)2=[y1−kx1−b,y2−kx2−b,⋯,yn−kxn−b]⎣ ⎡y1−kx1−by2−kx2−b⋮yn−kxn−b⎦ ⎤
L = ( Y − X β ) T ( Y − X β ) = ( Y T − β T X T ) ( Y − X β ) = Y T Y − Y T X β − β T X T Y + β T X T X β 则 β ^ = [ b ^ k ^ ] = a r g min ⁡ β ( Y T Y − Y T X β − β T X T Y + β T X T X β ) L=(Y-X\beta )^T(Y-X\beta )\ \\ \,\, \begin{array}{l} \,\ \,\ \,\ \,\ \,\ =\left( Y^T-\beta ^TX^T \right) (Y-X\beta )\\ \,\ =Y^TY-Y^TX\beta -\beta ^TX^TY+\beta ^TX^TX\beta\\ \end{array} \\ 则\widehat{\beta }=\left[ \begin{array}{l} \hat{b}\\ \hat{k}\\ \end{array} \right] =\underset{\beta}{\mathrm{arg}\min}\left( Y^TY-Y^TX\beta -\beta ^TX^TY+\beta ^TX^TX\beta \right) L=(Y−Xβ)T(Y−Xβ) =(YT−βTXT)(Y−Xβ) =YTY−YTXβ−βTXTY+βTXTXβ则β =[b^k^]=βargmin(YTY−YTXβ−βTXTY+βTXTXβ)

∂ L ∂ β = − X T Y − X T Y + 2 X T X β = 0 ⇒ X T X β = X T Y 转换位置以后可以得到 β ^ = ( X T X ) − 1 X T Y \frac{\partial L}{\partial \beta}=-X^TY-X^TY+2X^TX\beta =0\Rightarrow X^TX\beta =X^TY \\转换位置以后可以得到 \widehat{\beta }=\left( X^TX \right) ^{-1}X^TY ∂β∂L=−XTY−XTY+2XTXβ=0⇒XTXβ=XTY转换位置以后可以得到β =(XTX)−1XTY

这里我们需要注意到的是 ( X T X ) \left( X^TX \right) (XTX)是可逆的,那么就必须保证X的列向量都是线性无关的,不然会出现完全多重共线性的问题
之后将 β ^ \widehat{\beta } β 带入式子便可以得到 a ^ \widehat{a} a 和 b ^ \widehat{b} b 的值

GM(1,1)原理介绍

根据 O L S 估计得到 a ^ 和 b ^ , 即 x ( 0 ) ( k ) = − a ^ z ( 1 ) ( k ) + b ^ ( k = 2 , 3 , ⋯ , n ) x ( 0 ) ( k ) = − a ^ z ( 1 ) ( k ) + b ^ ⇒ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) = − a ^ z ( 1 ) ( k ) + b ^ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) = ∫ k − 1 k d x ( 1 ) ( t ) d t d t ( 牛顿 − 莱布尼茨公式 ) z ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k − 1 ) 2 ≈ ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t ( 定积分的几何意义 ) 根据OLS估计得到 \hat{a} 和 \hat{b} , 即 x^{(0)}(k)=-\hat{a} z^{(1)}(k)+\hat{b} \quad(k=2,3, \cdots, n) \\x^{(0)}(k)=-\hat{a} z^{(1)}(k)+\hat{b} \Rightarrow x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1) \\\\\\=-\hat{a} z^{(1)}(k)+\hat{b} x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1)=\int_{k-1}^{k} \frac{d x^{(1)}(t)}{d t} d t (牛顿-莱布尼茨公式 ) \\ z^{(1)}(k)=\frac{x^{(1)}(k)+x^{(1)}(k-1)}{2} \approx \int_{k-1}^{k} x^{(1)}(t) d t (定积分的几何意义) 根据OLS估计得到a^和b^,即x(0)(k)=−a^z(1)(k)+b^(k=2,3,⋯,n)x(0)(k)=−a^z(1)(k)+b^⇒x(1)(k)−x(1)(k−1)=−a^z(1)(k)+b^x(1)(k)−x(1)(k−1)=∫k−1kdtdx(1)(t)dt(牛顿−莱布尼茨公式)z(1)(k)=2x(1)(k)+x(1)(k−1)≈∫k−1kx(1)(t)dt(定积分的几何意义)

∫ k − 1 k d x ( 1 ) ( t ) d t d t ≈ − a ^ ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t + ∫ k − 1 k b ^ d t = ∫ k − 1 k [ − a ^ x ( 1 ) ( t ) + b ^ ] d t 微分方程 : d x ( 1 ) ( t ) d t = − a ^ x ( 1 ) ( t ) + b ^ 被称为 GM ⁡ ( 1 , 1 ) 模型的白化方程 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b ( GM ⁡ ( 1 , 1 ) 模型的基本形式 ) 则被称为灰色微分方程 \begin{aligned} \int_{k-1}^{k} \frac{d x^{(1)}(t)}{d t} d t & \approx-\hat{a} \int_{k-1}^{k} x^{(1)}(t) d t+\int_{k-1}^{k} \hat{b} d t \\ &=\int_{k-1}^{k}\left[-\hat{a} x^{(1)}(t)+\hat{b}\right] d t \end{aligned} \\微分方程: \frac{d x^{(1)}(t)}{d t}=-\hat{a} x^{(1)}(t)+\hat{b} 被称为 \operatorname{GM}(1,1) 模型的白化方程 \\ x^{(0)}(k)+a z^{(1)}(k)=b(\operatorname{GM}(1,1) 模型的基本形式 ) 则被称为灰色微分方程 ∫k−1kdtdx(1)(t)dt≈−a^∫k−1kx(1)(t)dt+∫k−1kb^dt=∫k−1k[−a^x(1)(t)+b^]dt微分方程:dtdx(1)(t)=−a^x(1)(t)+b^被称为GM(1,1)模型的白化方程x(0)(k)+az(1)(k)=b(GM(1,1)模型的基本形式)则被称为灰色微分方程
这里所提到的白化方程可以理解为是白噪声(即没有扰动项)的意思
提出灰色微分方程这样一个概念,主要是为了解决信息不完备的系统的问题,建立近似的微分方程
白化方程 : d x ( 1 ) ( t ) d t = − a ^ x ( 1 ) ( t ) + b ^ 如果我们取初始值 x ^ ( 1 ) ( t ) ∣ t = 1 = x ( 0 ) ( 1 ) , 我们可以求出其对应的解为 : x ^ ( 1 ) ( t ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − b ^ a ^ ] e − a ^ ( t − 1 ) + b ^ a ^ 所以 x ^ ( 1 ) ( m + 1 ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − b ^ a ^ ] e − a ^ m + b ^ a ^ , m = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 白化方程: \frac{d x^{(1)}(t)}{d t}=-\hat{a} x^{(1)}(t)+\hat{b} 如果我们取初始值 \\ \left.\hat{x}^{(1)}(t)\right|_{t=1}=x^{(0)}(1) , \\ 我们可以求出其对应的解为: \\ \hat{x}^{(1)}(t)=\left[x^{(0)}(1)-\frac{\hat{b}}{\hat{a}}\right] e^{-\hat{a}(t-1)}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}} \\\,\ \text { 所以 } \hat{x}^{(1)}(m+1)=\left[x^{(0)}(1)-\frac{\hat{b}}{\hat{a}}\right] e^{-\hat{a} m}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}}, m=1,2, \cdots, n-1 白化方程:dtdx(1)(t)=−a^x(1)(t)+b^如果我们取初始值x^(1)(t)∣ ∣t=1=x(0)(1),我们可以求出其对应的解为:x^(1)(t)=[x(0)(1)−a^b^]e−a^(t−1)+a^b^ 所以 x^(1)(m+1)=[x(0)(1)−a^b^]e−a^m+a^b^,m=1,2,⋯,n−1

一次微分方程

一阶齐次线性方程组
形如 d y d x + P ( x ) y = 0 的方程称为一阶齐次线性微分方程 , 其通解公式为 : y = C e − ∫ P ( x ) d x 形如 \frac{d y}{d x}+P(x) y=0 的方程称为一阶齐次线性微分方程, 其通解公式为: \\y=C e^{-\int P(x) d x} 形如dxdy+P(x)y=0的方程称为一阶齐次线性微分方程,其通解公式为:y=Ce−∫P(x)dx
一阶非齐次线性微分方程
形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) 的方程称为一阶非齐次线性微分方程 , 其通解公式为 : y = [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] e − ∫ P ( x ) d x 形如 \frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) 的方程称为一阶非齐次线性微分方程, 其通解公式为: \\ y=\left[\int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x+C\right] e^{-\int P(x) d x} 形如dxdy+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶非齐次线性微分方程,其通解公式为:y=[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]e−∫P(x)dx
根据上述的微分方程的使用,我们就可以理解并使用 G M ( 1 , 1 ) GM(1,1) GM(1,1)来进行预测
根据 x ( 1 ) ( m ) = ∑ i = 1 m x ( 0 ) ( i ) , m = 1 , 2 , ⋯ , n , 我们可以有 x ^ ( 0 ) ( m + 1 ) = x ^ ( 1 ) ( m + 1 ) − x ^ ( 1 ) ( m ) = ( 1 − e a ^ ) [ x ( 0 ) ( 1 ) − b ^ a ^ ] e − a ^ m , m = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 根据 x^{(1)}(m)=\sum_{i=1}^{m} x^{(0)}(i), m=1,2, \cdots, n , \\ 我们可以有 \\ \hat{x}^{(0)}(m+1)=\hat{x}^{(1)}(m+1)-\hat{x}^{(1)}(m)=\left(1-e^{\hat{a}}\right)\left[x^{(0)}(1)-\frac{\hat{b}}{\hat{a}}\right] e^{-\hat{a} m}, m=1,2, \cdots, n-1 根据x(1)(m)=i=1∑mx(0)(i),m=1,2,⋯,n,我们可以有x^(0)(m+1)=x^(1)(m+1)−x^(1)(m)=(1−ea^)[x(0)(1)−a^b^]e−a^m,m=1,2,⋯,n−1
注意到 x ^ ( 1 ) ( m + 1 ) − x ^ ( 1 ) ( m ) \hat{x}^{(1)}(m+1)-\hat{x}^{(1)}(m) x^(1)(m+1)−x^(1)(m)这个式子,根据图像的描述可以写成

这个式子就和一次微分方程的计算方法相关,也是灰色预测的作用的具体展示,表明了灰色预测是根据前一个值进行预测的,比如说要预测 x ( m + 2 ) x(m+2) x(m+2)这个值,那么就需要有 x ( m + 1 ) x(m+1) x(m+1)这样的一个数据,可以理解为做差
G M ( 1 , 1 ) 模型是有条件的指数拟合 : f ( x ) = C 1 e C 2 ( x − 1 ) GM(1,1)模型是有条件的指数拟合:f(x)=C_{1} e^{C_{2}(x-1)} GM(1,1)模型是有条件的指数拟合:f(x)=C1eC2(x−1)

准指数规律检验

( 1 ) 数据具有准指数规律是使用灰色系统建模的理论基础。 ( 2 ) 累加 r 次的序列为 : x ( r ) = ( x ( r ) ( 1 ) , x ( r ) ( 2 ) , ⋯ , x ( r ) ( n ) ) , 定义级比 σ ( k ) = x ( r ) ( k ) x ( r ) ( k − 1 ) , k = 2 , 3 , ⋯ , n . ( 3 ) 如果 ∀ k , σ ( k ) ∈ [ a , b ] , 且区间长度 δ = b − a < 0.5 , 则称累加 r 次后的序列具有准指数规律。 ( 4 ) 具体到 GM ⁡ ( 1 , 1 ) 模型中 , 我们只需要判断累加一次后的序列 x ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) , x ( 1 ) ( 2 ) , ⋯ , x ( 1 ) ( n ) ) 是否具有准指数规律。 ( 5 ) 根据上述公式 : 序列 x ( 1 ) 的级比 σ ( k ) = x ( 1 ) ( k ) x ( 1 ) ( k − 1 ) = x ( 0 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k − 1 ) x ( 1 ) ( k − 1 ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 1 ) ( k − 1 ) + 1 , 定义 ρ ( k ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 1 ) ( k − 1 ) 为原始序列 x ( 0 ) 的光滑比 , 注意到 ρ ( k ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( 1 ) + x ( 0 ) ( 2 ) + ⋯ + x ( 0 ) ( k − 1 ) , 假设 x ( 0 ) 为非负序列（生活中的常见的时间序列几乎都满足非负性），那么随着 k 增加 , 最终 ρ ( k ) 会逐渐接近 0 , 因此要使得具有 x ( 1 ) 具有准指数规律 , 即 ∀ k , 区间长度 δ < 0.5 , 只需要只需要保证 ρ ( k ) ∈ ( 0 , 0.5 ) 即可 , 此时序列 x ( 1 ) 的级比 σ ( k ) ∈ ( 1 , 1.5 ) . (1) 数据具有准指数规律是使用灰色系统建模的理论基础。 \\(2) 累加 r 次的序列为: x^{(r)}=\left(x^{(r)}(1), x^{(r)}(2), \cdots, x^{(r)}(n)\right) , 定义级比 \sigma(k)=\frac{x^{(r)}(k)}{x^{(r)}(k-1)}, k=2,3, \cdots, n . \\(3) 如果 \forall k, \sigma(k) \in[a, b] , 且区间长度 \delta=b-a<0.5 , 则称累加 r 次后的序列具有准指数规律。 \\(4) 具体到 \operatorname{GM}(1,1) 模型中, 我们只需要判断累加一次后的序列 x^{(1)}=\left(x^{(1)}(1), x^{(1)}(2), \cdots, x^{(1)}(n)\right) 是否具有准指数规律。 \\(5) 根据上述公式: 序列 x^{(1)} 的级比 \sigma(k)=\frac{x^{(1)}(k)}{x^{(1)}(k-1)}=\frac{x^{(0)}(k)+x^{(1)}(k-1)}{x^{(1)}(k-1)}=\frac{x^{(0)}(k)}{x^{(1)}(k-1)}+1 , \\定义 \rho(k)=\frac{x^{(0)}(k)}{x^{(1)}(k-1)} 为原始序列 x^{(0)} 的光滑比, \\注意到\rho(k)= \frac{x^{(0)}(k)}{x^{(0)}(1)+x^{(0)}(2)+\cdots+x^{(0)}(k-1)} , \\假设 x^{(0)} 为非负序列（生活中的常见的时间序列几乎都满足非负性）， \\那么随着 k 增加, 最终 \rho(k) 会逐渐接近 0 , 因此要使得具有 x^{(1)} 具有准指数规律, \\即 \forall k , 区间长度 \delta<0.5 , 只需要只需要保证 \rho(k) \in(0,0.5) 即可, 此时序列 x^{(1)} 的级比 \sigma(k) \in(1,1.5) . (1)数据具有准指数规律是使用灰色系统建模的理论基础。(2)累加r次的序列为:x(r)=(x(r)(1),x(r)(2),⋯,x(r)(n)),定义级比σ(k)=x(r)(k−1)x(r)(k),k=2,3,⋯,n.(3)如果∀k,σ(k)∈[a,b],且区间长度δ=b−a<0.5,则称累加r次后的序列具有准指数规律。(4)具体到GM(1,1)模型中,我们只需要判断累加一次后的序列x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),⋯,x(1)(n))是否具有准指数规律。(5)根据上述公式:序列x(1)的级比σ(k)=x(1)(k−1)x(1)(k)=x(1)(k−1)x(0)(k)+x(1)(k−1)=x(1)(k−1)x(0)(k)+1,定义ρ(k)=x(1)(k−1)x(0)(k)为原始序列x(0)的光滑比,注意到ρ(k)=x(0)(1)+x(0)(2)+⋯+x(0)(k−1)x(0)(k),假设x(0)为非负序列（生活中的常见的时间序列几乎都满足非负性），那么随着k增加,最终ρ(k)会逐渐接近0,因此要使得具有x(1)具有准指数规律,即∀k,区间长度δ<0.5,只需要只需要保证ρ(k)∈(0,0.5)即可,此时序列x(1)的级比σ(k)∈(1,1.5).
(以上内容再取自清风数学建模老师的ppt)
(摘取自刘思峰, 谢乃明, 等. 2010. 灰色系统理论及其应用 [ M ] . 5 版. 北京: 科学出版社 \text { 刘思峰, 谢乃明, 等. 2010. 灰色系统理论及其应用 }[M] .5 \text { 版. 北京: 科学出版社 } 刘思峰, 谢乃明, 等. 2010. 灰色系统理论及其应用 [M].5 版. 北京: 科学出版社 )
在数据当中,我们一般比较关注后期的期数,因为在数据不断增加之后,那么预测出来的结果也会更加精确
书本上对发展系数与预测情形的探究如下
GM ⁡ ( 1 , 1 ) 适用情况和发展系数的大小有很大关系 , 教材中给了如下结论 : 当 ∣ a ∣ > 2 时 , 模型没有意义 ; 当 ∣ a ∣ < 2 时 , GM ⁡ ( 1 , 1 ) 才有意义。当 a 取不同值时 , 预测的最终效果也不相同 , 具体讨论如下 : 当 − a < 0.3 时 , G M ( 1 , 1 ) 模型适合于中期和长期数据的预测。当 0.3 < − a ⩽ 0.5 时 , GM ⁡ ( 1 , 1 ) 模型适合于短期预测 , 中长期数据预测应谨慎使用。当 0.5 < − a ⩽ 0.8 时 , GM ⁡ ( 1 , 1 ) 模型对于预测短期数据应谨慎使用。当 0.8 < − a ⩽ 1.0 时 , 应对 GM ⁡ ( 1 , 1 ) 进行残差修正 ( 见教材 ) 后使用。当 − a > 1 时 , 不宜使用 G M ( 1 , 1 ) 模型进行预测。所以 , 我们可以根据预测出的 a ^ . 来和上述范围比较 , 来确定适用情况。 \operatorname{GM}(1,1) 适用情况和发展系数的大小有很大关系, 教材中给了如下结论: \\ 当 |a|>2 时, 模型没有意义; \\当 |a|<2 时, \operatorname{GM}(1,1) 才有意义。 \\当 a 取不同值时, 预测的最终效果也不相同, 具体讨论如下: \\当 -a<0.3 时, \mathrm{GM}(1,1) 模型适合于中期和长期数据的预测。 \\ 当 0.3<-a \leqslant 0.5 时, \operatorname{GM}(1,1) 模型适合于短期预测, 中长期数据预测应谨慎使用。 \\ 当 0.5<-a \leqslant 0.8 时, \operatorname{GM}(1,1) 模型对于预测短期数据应谨慎使用。 \\ 当 0.8<-a \leqslant 1.0 时, 应对 \operatorname{GM}(1,1) 进行残差修正(见教材)后使用。 \\当 -a>1 时, 不宜使用 \mathrm{GM}(1,1) 模型进行预测。 \\ 所以, 我们可以根据预测出的 \widehat{a} . 来和上述范围比较, 来确定适用情况。 GM(1,1)适用情况和发展系数的大小有很大关系,教材中给了如下结论:当∣a∣>2时,模型没有意义;当∣a∣<2时,GM(1,1)才有意义。当a取不同值时,预测的最终效果也不相同,具体讨论如下:当−a<0.3时,GM(1,1)模型适合于中期和长期数据的预测。当0.3<−a⩽0.5时,GM(1,1)模型适合于短期预测,中长期数据预测应谨慎使用。当0.5<−a⩽0.8时,GM(1,1)模型对于预测短期数据应谨慎使用。当0.8<−a⩽1.0时,应对GM(1,1)进行残差修正(见教材)后使用。当−a>1时,不宜使用GM(1,1)模型进行预测。所以,我们可以根据预测出的a .来和上述范围比较,来确定适用情况。
上诉结论告诉我们发展系数越小预测的越精确

GM(1,1)模型检验

对模型使用的时候其数值的拟合优度是否高效,可以使用如下办法(以下检验方法都是摘取自上述课程和书本)

残差检验

绝对残差 : ε ( k ) = x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) , k = 2 , 3 , ⋯ , n 相对残差 : ε r ( k ) = ∣ x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) ∣ x ( 0 ) ( k ) × 100 % , k = 2 , 3 , ⋯ , n 平均相对残差 : ε ˉ r = 1 n − 1 ∑ k = 2 n ∣ ε r ( k ) ∣ 如果 ε ˉ r < 20 % , 则认为 G M ( 1 , 1 ) 对原数据的拟合达到一般要求。如果 ε ˉ r < 10 % , 则认为 G M ( 1 , 1 ) 对原数据的拟合效果非常不错。注 : （ 1 ) 残差检验可以适用于其他预测模型 ( 2 ) 关于这个 10 % 和 20 % 的标准不是绝对的 , 可以根据题目的需要进行修改 . 绝对残差: \varepsilon(k)=x^{(0)}(k)-\widehat{x}^{(0)}(k), k=2,3, \cdots, n \\相对残差: \varepsilon_{r}(k)=\frac{\left|x^{(0)}(k)-\widehat{x}^{(0)}(k)\right|}{x^{(0)}(k)} \times 100 \%, k=2,3, \cdots, n \\平均相对残差: \bar{\varepsilon}_{r}=\frac{1}{n-1} \sum_{k=2}^{n}\left|\varepsilon_{r}(k)\right| \\ 如果 \bar{\varepsilon}_{r}<20 \% , 则认为 G M(1,1) 对原数据的拟合达到一般要求。 \\如果 \bar{\varepsilon}_{r}<10 \% , 则认为 G M(1,1) 对原数据的拟合效果非常不错。 \\注:（1)残差检验可以适用于其他预测模型 \,\\(2) 关于这个 10 \% 和 20 \% 的标准不是绝对的, 可以根据题目的需要进行修改. 绝对残差:ε(k)=x(0)(k)−x (0)(k),k=2,3,⋯,n相对残差:εr(k)=x(0)(k)∣x(0)(k)−x (0)(k)∣×100%,k=2,3,⋯,n平均相对残差:εˉr=n−11∑k=2n∣εr(k)∣如果εˉr<20%,则认为GM(1,1)对原数据的拟合达到一般要求。如果εˉr<10%,则认为GM(1,1)对原数据的拟合效果非常不错。注:（1)残差检验可以适用于其他预测模型(2)关于这个10%和20%的标准不是绝对的,可以根据题目的需要进行修改.

级比偏差检验

首先由 x ( 0 ) ( k − 1 ) 和 x ( 0 ) ( k ) 计算出原始数据的级比 σ ( k ) : 首先由 x^{(0)}(k-1) 和 x^{(0)}(k) 计算出原始数据的级比 \sigma(k) : 首先由x(0)(k−1)和x(0)(k)计算出原始数据的级比σ(k):
σ ( k ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k − 1 ) ( k = 2 , 3 , ⋯ , n ) \sigma(k)=\frac{x^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k-1)}(k=2,3, \cdots, n) σ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k)(k=2,3,⋯,n)
再根据预测出来的发展系数 ( − a ^ ) 计算出相应的级比偏差和平均级比偏差 : 再根据预测出来的发展系数 (-\widehat{a}) 计算出相应的级比偏差和平均级比偏差: 再根据预测出来的发展系数(−a )计算出相应的级比偏差和平均级比偏差:
η ( k ) = ∣ 1 − 1 − 0.5 a ^ 1 + 0.5 a ^ 1 σ ( k ) ∣ , η ˉ = ∑ k = 2 n η ( k ) / ( n − 1 ) \\ \eta(k)=\left|1-\frac{1-0.5 \hat{a}}{1+0.5 \hat{a}} \frac{1}{\sigma(k)}\right|, \bar{\eta}=\sum_{k=2}^{n} \eta(k) /(n-1) η(k)=∣ ∣1−1+0.5a^1−0.5a^σ(k)1∣ ∣,ηˉ=k=2∑nη(k)/(n−1)
如果 η ˉ < 0.2 , 则认为 G M ( 1 , 1 ) 对原数据的拟合达到一般要求。如果 η ˉ < 0.1 , 则认为 G M ( 1 , 1 ) 对原数据的拟合效果非常不错。 \\如果 \bar{\eta}<0.2 , 则认为 G M(1,1) 对原数据的拟合达到一般要求。 \\ 如果 \bar{\eta}<0.1 , 则认为 GM(1,1) 对原数据的拟合效果非常不错。如果ηˉ<0.2,则认为GM(1,1)对原数据的拟合达到一般要求。如果ηˉ<0.1,则认为GM(1,1)对原数据的拟合效果非常不错。
η ˉ \bar{\eta} ηˉ越小,说明差距越小,也就说明了拟合优度很强

GM(1,1)的拓展

书本的截图

总结为

全数据 G M ( 1 , 1 ) GM(1,1) GM(1,1)
部分数据 G M ( 1 , 1 ) GM(1,1) GM(1,1)
新信息 G M ( 1 , 1 ) GM(1,1) GM(1,1)
新陈代谢 G M ( 1 , 1 ) GM(1,1) GM(1,1)
目前来看新陈代谢 G M ( 1 , 1 ) GM(1,1) GM(1,1)在大部分预测当中预测效果是最好的,它的使用原理也是比较符合和理想的

什么时候使用灰色预测

大家可以多个方法进行预测,然后使用同一个检验方法来检验那一个使用效率是最高的,然后就可以写入到论文当中,清风老师的看法如下

数据是以年份度量的非负数据（如果是月份或者季度数据使用时间序列模型）
数据能经过准指数规律的检验（除了前两期外, 后面至少 90 % 的期数的光滑比要低于 0.5 ）
数据的期数较短且和其他数据之间的关联性不强（小于等于 10 , 也不能太短了, 比如只有 3 期数据）, 要是数据期数较长, 一般用传统的时间序列模型比较合适。

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