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一、前言

本文的目的是用Python和类对灰色预测进行封装

二、原理简述

1.灰色预测概述

灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：

(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。

(2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。

(4) 系统预测，对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。

上述灰色预测方法的共同特点是：

（1）允许少数据预测；

（2）允许对灰因果律事件进行预测，例如：

灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。

白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。

（3）具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。

2.GM(1,1)模型理论

GM(1,1)模型适合具有较强的指数规律的数列，只能描述单调的变化过程。已知元素序列数据：

$x^{(0)}=(X^{(0)}(1),X^{(0)}(2),...,X^{(0)}(n))$

做一次累加生成（1-AGO）序列：

$x^{(1)}=(X^{(1)}(1),X^{(1)}(2),...,X^{(1)}(n))$

其中

，

$x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^kx^{(0)}(i), \quad k=1,...,n$

令

$Z^{(1)}$ 为

$X^{(1)}$ 的紧邻均值生成序列：

$Z^{(1)}=(z^{(1)}(2), z^{(1)}(3), ...,z^{(1)}(n))$

其中，

$z^{(1)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1)$

建立GM(1,1)的灰微分方程模型为：

$x^{(0)}(k)+az^{(1)}(k)=b$

其中，

为发展系数，

为灰色作用量。设

$\hat{a}$ 为待估参数向量，即

$\hat{a}=(a,b)^T$ ，则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足

$\hat{a}=(B^TB)^{-1}B^TY_n$

其中

$B=\left[ \begin{matrix} -z^{(1)}(2) , 1 \\ -z^{(1)}(3) , 1 \\ ... , ... \\ -z^{(1)}(n) , 1 \end{matrix}\right]， Y_n=\left[ \begin{matrix} x^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3) \\ ... , \\ x^{(0)}(n) \end{matrix}\right]$

再建立灰色微分方程的白化方程（也叫影子方程）：

$\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=b$

白化方程的解（也叫时间响应函数）为

$\hat{x}^{(1)}(t)=(x^{(1)}(0)-\frac{b}{a})e^{-at}+\frac{b}{a}$

那么相应的GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为：

$\hat{x}^{(1)}(k+1) = [x^{(1)}(0)-\frac{b}{a}]e^{-at}+\frac{b}{a}$ 取

$x^{(1)}(0)=x^{(0)}(1)$ ，

则

$\hat{x}^{(1)}(k+1)=[x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}]e^{-ak}+\frac{b}{a},\quad k=1,....n-1$

再做累减还原可得

$\hat{x}^{(0)}(k+1)=\hat{x}^{(1)}(k+1)-\hat{x}^{(1)}(k)=[x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}](1-e^a)e^{-ak}, \quad k=1,...,n-1$ 即为预测方程。

注1：原始序列数据不一定要全部使用，相应建立的模型也会不同，即

和

不同；

注2：原始序列数据必须要等时间间隔、不间断。

3.算法步骤

(1) 数据的级比检验

为了保证灰色预测的可行性，需要对原始序列数据进行级比检验。

对原始数据列

$X^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(3))$ ，

计算序列的级比：

$\lambda(k)=\frac{x^{0}(k-1)}{x^{(0)}(k)}, \quad k=2,...,n$

若所有的级比

$\lambda(k)$ 都落在可容覆盖

$\Theta=(e^{-2/(n+1)},e^{2/(n+2)})$ 内，则可进行灰色预测；否则需要对

$X^{(0)}$ 做平移变换，

$Y^{(0)}=X^{(0)}+c$ ，使得

$Y^{(0)}$ 满足级比要求。

(2) 建立GM(1,1)模型，计算出预测值列。

(3) 检验预测值：

① 相对残差检验，计算

$\varepsilon(k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}, \quad k=2,...,n$

若

$\varepsilon(k)<0.2$ ，则认为达到一般要求，若

$\varepsilon(k)<0.1$ ，则认为达到较高要求；

② 级比偏差值检验

根据前面计算出来的级比

$\lambda(k)$ , 和发展系数

, 计算相应的级比偏差：

$\rho(k)=1-(\frac{1-0.5a}{1+0.5a})]\lambda(k)$

若

$\rho(k)<0.2$ , 则认为达到一般要求，若

$\rho(k)<0.1$ , 则认为达到较高要求。

(4) 利用模型进行预测。

三、程序实现 python实现

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