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MATLAB08:符号运算

创建符号变量
- 创建符号数字
- 创建符号变量
符号运算
- 符号表达式的化简与代入
- - 符号表达式的化简
  - 符号表达式的代入
- 求方程的解析解
- - 解单变量方程
  - 解多变量方程
  - 解方程组
- 符号微积分运算
- - 求极限
  - 微分
  - 积分
  - 级数求和
  - 泰勒展开
绘制图像

MATLAB强大的符号运算基于符号运算工具箱,具体请见其官方文档.

创建符号变量

创建符号数字

使用sym函数可以创建符号数字.使用符号数字可以精确地保存无理数,不会产生误差.

sym(1/3) % 得到 1/3
1/3         % 得到 0.3333

将无理数保存为符号数字可以避免将其转换为浮点数的误差:

使用符号数字计算 sin ⁡ ( π ) \sin(\pi) sin(π)

sin(sym(pi))   % 得到 0
sin(pi)         % 得到 1.2246e-16

使用符号数字计算 ϕ = 1 + 5 2 \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} ϕ=21+5

symphi = (1 + sqrt(sym(5)))/2;   % 得到 5^(1/2)/2 + 1/2
symf = symphi^2 - symphi - 1;  % 得到 (5^(1/2)/2 + 1/2)^2 - 5^(1/2)/2 - 3/2numphi = (1 + sqrt(5))/2;      % 得到 1.6180
numf = numphi^2 - numphi - 1;  % 得到 0

创建符号变量

使用sym和syms可以创建符号变量,区别在于:

sym每次只能创建一个符号变量,而syms一次可以创建多个符号变量.

syms a      % sym命令只能创建一个符号变量
syms b c d  % syms命令可以创建多个符号变量

若所指定的符号变量已存在,sym不会保留其原有的值,而syms会清空其值.

syms x y
f = x+y;  % 隐式创建符号变量f
sym f       % 不清空变量f原有的值,即f = x + y

syms x y
f = x+y;  % 隐式创建符号变量f
syms f      % 清空变量f原有的值,即f = f

使用sym可以创建符号变量矩阵.

A = sym('a', [2 5])  % 创建一个2*5的符号变量矩阵
whos

得到的输出如下:

A =
[ a1_1, a1_2, a1_3, a1_4, a1_5]
[ a2_1, a2_2, a2_3, a2_4, a2_5]Name      Size            Bytes  Class    AttributesA         2x5               112  sym

联合使用sym和syms可以快速创建一系列带下标的变量

clear all
syms(sym('a', [1 5]))
whos

得到输出如下:

  Name      Size            Bytes  Class    Attributesa1        1x1                 8  sym                a2        1x1                 8  sym                a3        1x1                 8  sym                a4        1x1                 8  sym                a5        1x1                 8  sym

符号运算

符号表达式的化简与代入

符号表达式的化简

使用simplify()函数可以化简符号表达式.

syms x a b csimplify(sin(x)^2 + cos(x)^2);      % 得到 1
simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))));   % 得到 (a + b)^(c/2)

表达式化简的标准是不确定的,下面三个函数分别按照不同标准化简表达式:

expand()函数可以展开表达式

syms xf = (x ^2- 1)*(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)*(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1);
expand(f);      % 得到 x^10 - 1

factor()函数可以分解因式

syms xg = x^3 + 6*x^2 + 11*x + 6;
factor(g);      % 得到 (x + 3)*(x + 2)*(x + 1)

horner()函数可以将多项式变为嵌套形式

syms xh = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x;
horner(h);      % 得到 x*(x*(x*(x*(x + 1) + 1) + 1) + 1)

符号表达式的代入

使用sub(expr, old, new)函数可以将符号表达式expr中的old替换为new.

syms xf = 2*x^2 - 3*x + 1;
subs(f, 1/3)    % 得到 2/9

syms x yf = x^2*y + 5*x*sqrt(y);
subs(f, x, 3);  % 得到 9*y + 15*y^(1/2)

求方程的解析解

使用solve(eqn,var)和solve(eqns,vars)可以求取方程式的解析解.

解单变量方程

使用==定义一个方程,并对其调用solve函数求解.

syms xeqn = x^3 - 6*x^2 == 6 - 11*x;
solve(eqn);     % 得到 [1 2 3]

若不指定==符号右边的值,则默认等式右边为0.

syms xeqn = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;
solve(eqn);     % 得到 [1 2 3]

解多变量方程

对于多变量方程,我们需要指定针对哪个变量进行求解.

syms x yeqn = [6*x^2 - 6*x^2*y + x*y^2 - x*y + y^3 - y^2 == 0];
solve(eqn, y);  % 得到 [1, 2*x, -3*x]

解方程组

向solve()函数传入方程组可以解方程.

syms u veqns = [2*u + v == 0, u - v == 1];
S = solve(eqns,[u v]);

可以通过变量名索引方程的解,并可以将该解代入其他表达式中.

S.u;             % 得到 1/3
S.v;                % 得到 -2/3
subs(3*v + u, S);  % 得到 -5/3

符号微积分运算

求极限

使用limit(expr, var, a)函数可以求取符号表达式expr在变量var趋近于a时的极限,添加参数'left'或'right'可以指定左极限或右极限.

syms x;
expr = 1/x;limit(expr,x,0);            % 得到NaN
limit(expr,x,0,'left');       % 得到-Inf
limit(expr,x,0,'right');  % 得到Inf

微分

使用diff(expr, var, n)函数可以求取符号表达式expr对变量var的n阶微分.

syms a b c x;
expr = a*x^2 + b*x + c;diff(expr, a);        % 得到 x^2
diff(expr, b);      % 得到 x
diff(expr, x);      % 得到 b + 2*a*x
diff(expr, x, 2);   % 得到 2*a

积分

使用int(expr, var)函数可以求取符号表达式expr对变量var的不定积分.使用int(expr, var, [a, b])函数可以指定上下限求定积分,a和b可以是符号表达式.

syms x a b
expr = -2*x/(1+x^2)^2;int(expr, x);           % 得到 1/(x^2 + 1)
int(expr, x, [1, 2]);   % 得到 -0.3
int(expr, x, [1, Inf]); % 得到 -0.5
int(expr, x, [a, b]);   % 得到 1/(b^2 + 1) - 1/(a^2 + 1)

对于一些函数,MATLAB不能求出其积分,这时MATLAB会返回一个未解析(unsolved)的积分形式.

syms x
int(sin(sinh(x)));  % 一个无解的积分,MATLAB返回 int(sin(sinh(x)), x)

级数求和

使用symsum(expr, k, [a b])计算级数expr的索引k从a到b的加和.

syms k xsymsum(k^2, k)           % 得到 k^3/3 - k^2/2 + k/6
symsum(k^2, k, [0 10])  % 得到 385
symsum(x^k/factorial(k),k,1,Inf)    % 得到 exp(x) - 1

泰勒展开

使用taylor(expr,var,a)计算表达式expr在var=a处的泰勒级数.

syms xtaylor(exp(x)) % 得到 x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1
taylor(sin(x))  % 得到 x^5/120 - x^3/6 + x
taylor(cos(x))  % 得到 x^4/24 - x^2/2 + 1

绘制图像

可以对符号表达式绘制图像,常用的绘图函数如下:

函数	作用
`fplot()`	绘制符号表达式的二维线图像
`fplot3()`	绘制符号表达式的三维线图像
`ezpolar()`	绘制符号表达式的极坐标线图像
`fmesh()`	绘制网状面图像
`fsurf()`	绘制带颜色的面图像
`fcontour()`	绘制轮廓图像
`fimplicit()`	绘制隐含函数关系的图像

下面例子展示二维和三维线图像的绘制

subplot(1, 2, 1)
syms x
f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;
fplot(f, x)subplot(1, 2, 2)
syms t
fplot3(t^2*sin(10*t), t^2*cos(10*t), t)

下面例子演示三维面的绘制
```
syms x y
fsurf(x^2 + y^2)
```

下面例子演示隐含函数关系图像的绘制

syms x y
eqn = (x^2 + y^2)^4 == (x^2 - y^2)^2;
fimplicit(eqn, [-1 1])

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