latex 符号_sympy: 符号运算-1

本文主要参考资料来自sympy的官网：

Introduction - SymPy 1.4 documentationdocs.sympy.org

一般，我们使用计算机软件进行数学计算，主要是数值计算，就算有变量，也是代入具体数值来算的，我们在初中到大学学到的符号计算，很多时候无法用计算机来进行，比如下面的多项式化简：

上面的式中没有任何一个具体数值，完全是符号进行计算，这时我们只能手算了。当然，我们可以用商业软件mathematics, 但是非常昂贵，幸好我们还有python，有了开源的sympy模块，我们可以做到如下功能：

core symbolic mathematics: 基础运算，包括：化简Simplification，各种函数运算等；
Polynomials：多项式运算及求解
Calculus：极限、微分、积分
Solving equations：各种方程求解
Combinatorics：组合学
Discrete math：离散数学
Matrices：矩阵运算
Geometry：几何学
Physics：物理学
Statistics：统计学
Cryptography：密码学

下面我们分几个专题来介绍其功能，这篇介绍基础的运算。

Symbols ：符号

在进行符号运算前，必须先定义符号，下面的例子我们定义了两个符号x,y:

import sympy as sy
x,y = sy.symbols('x y') #符号间用空格隔开
print(type(x))
print(type(y))

输出：

sympy.core.symbol.Symbol
sympy.core.symbol.Symbol

2. Symbols expression: 符号表达式

当一个表达式中有任何一个变量是sympy symbol，就变成一个symbols expression，它不会直接进行运算，除非你使用subs()方法代入具体的数值，看下面的例子：

import sympy as sy
x,y=sy.symbols("x y")
f=x**2+3*x-5
print(f"f(x)={f}") #直接打印f是显示表达式
xx=3
print(f"f({xx})={f.subs({x:xx})}") #代入具体数值来计算最终的结果
yy=4
f1=(x**2+y**2)**0.5
print(f"f1(x,y)={f1}")  #直接打印f1是显示表达式
print(f"f1({xx},{yy})={f1.subs({x:xx, y:yy})}") #代入具体数值来计算最终的结果

结果：

f(x)=x**2 + 3*x - 5
f(3)=13
f1(x,y)=(x**2 + y**2)**0.5
f1(3,4)=5.00000000000000

3. Substitution : 代换

上面的例子，显示了如何在表达式中代入具体的数值，但是替换还可以有更多的可能，看下面的例子：

--->

import sympy as sy
a,x,t=sy.symbols("a x t")
f=sy.cos(x)
print(f"f(t)={f.subs({x: a**t})}")

输出：

f(t)=cos(a**t)

4. evalf：计算出具体的值

不单单用sympy symbols组成的表达式，用sympy functions或sympy Rational组成的表达式，都是不会直接计算出实际的数值，这时候可以用evalf函数来实际计算出具体的数值，看下例：

import sympy as sy
y = sy.sqrt(2)+sy.Rational(3,8)
print(f"{y}={y.evalf()}")

输出：

3/8 + sqrt(2)=1.78921356237310

5. 更漂亮和专业的输出

在ipython中，运行：sympy.init_printing()后，可以以比较漂亮的格式来打印(用sympy.pprint()函数)输出公式，比如：

import sympy as sy
sy.init_printing()
sy.pprint(x**2+sy.Rational(1,3))

输出：

 2   1
x  + ─3

如果在jupyter notebook中，可以用下面的方法用latex来输出漂亮的公式：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x,y=sy.symbols("x y")
f=x**2+3*x-5
display(Latex(f"$$f(x)={sy.latex(f)}$$"))xx=3
sy.pprint(f"f({xx})={f.subs({x:xx})}")
yy=4
f1=sy.sqrt(x**2+y**2)display(Latex(f"$$f_1(x,y)={sy.latex(f1)}$$"))
sy.pprint(f"f1({xx},{yy})={f1.subs({x:xx, y:yy})}")

输出：

关于latex的介绍，参见我的另一个专栏。

6. Simplification ：化简

对于sympy来说，最强大的一点就是对公式进行化简，下面显示几个例子：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x = sy.symbols("x")
y = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)
display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.simplify(y))}$$"))

输出：

这里是用simplify()函数，绝大部分情况下它很好用，就是有几个问题：

它不能控制我们最终想要的形式，比如想要多项式（和式a+b+c）的最简式，还是多项乘积(a*b*c)的最简式，这可以用后面介绍的两个函数来取代；
它速度比较慢，同样，可以用其他更快的函数取代，但是通用性没有它好。

当我们需要化简为和式的表达式时，可以用expand()函数，参见下例：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x = sy.symbols("x")
y = (x + 1)**2
display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.expand(y))}$$"))

输出：

当我们需要化简为乘积表达式时，可以用factor()函数，参见下例：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x = sy.symbols("x")
y = x**3 - x**2 + x - 1
display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.factor(y))}$$"))

输出：

当我们的表达式各项有相同的变量，我们可以用collect()函数来合并同阶的项，看下例：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")
f = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.collect(f,x))}$$"))

输出：

当我们需要把表达式转换为

这样的最简式的时候，可以用

cancel()函数，它会上下消除相同的项，见下例，另，cancel()函数最后分子分母都化简为多项式的和式，如果要化简为乘积式，可以用factor()函数。

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")
f = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)
display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.cancel(f))}={sy.latex(sy.factor(f))}$$"))

输出：

下面看看apart()函数，可以用来把分数表示的多项式因式分解，看例子：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")
f = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.apart(f))}$$"))
print(sy.latex(f), sy.latex(sy.apart(f)))

输出：

对于三角函数，可以用：trigsimp()函数来化简，比如下例：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")
f = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4
display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.trigsimp(f))}$$"))

反过来，可以用expand_trig()函数来展开三角函数，看下例：

from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")
f = sin(x+y)
display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.expand_trig(f))}$$"))

输出：

对于指数函数的化简，比较麻烦，因为一般指数函数的形式：

，对于底：

和指数:

,当它们取不同类型的值或范围的时候，其结果是不一样的，比如：

:当

都是正数，且

是实数，可以化简为：

，但是其他情况就不行，比如设

，

，则

，而

，两边不相等；
：当

是整数时，可以化简为：

，但是其他情况下，就不行，比如：设：

，而

，两者不相同；
：对于任何情况都合适。

缺省情况下，sympy假设symbols都是属于复数类型，这样上面的一些指数表达式就无法进行简化，而我们可以在定义symbols的时候，指定其属于什么类型，这样一些简化就可以进行，看下面的例子：

 from IPython.display import display, Latex
import sympy as sy
sy.init_printing()x, y = symbols('x y', positive=True) #定义为正实数
a, b = symbols('a b', real=True)     #定义为实数
z, t, c = symbols('z t c')f1 = t**c*z**c
f2 = x**a*x**b
f3 = x**a*y**a
display(Latex(f"$${sy.latex(f1)}={sy.latex(sy.powsimp(f1))}$$"))
display(Latex(f"$${sy.latex(f2)}={sy.latex(sy.powsimp(f2))}$$"))
display(Latex(f"$${sy.latex(f3)}={sy.latex(sy.powsimp(f3))}$$"))

输出：

注意上面第一个式子，由于

是复数，所以简化没法进行；

而第二、第三个式子中由于设定符号

都符合要求，所以可以进行简化。

除了这些以外，还有：expand_power_exp(), expand_power_base(), powdenest(), expand_log(), logcombine()等函数可以进行化简，参看下面的资料：

Simplification - SymPy 1.4 documentationdocs.sympy.org

Simplification - SymPy 1.4 documentation

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