二体问题之1：二体运动方程

2024-04-10 00:47:09

注：笔记，恳请批评指正。

1. 研究对象及参考系

2. 二体运动假设

其中一个物体的质量远大于另一个
两物体球对称，可以将质量简化到质心
除质心连线外无其他外力

3. 运动描述

3.1 二体运动方程

r¨+μrr3=0\ddot{\mathbf{r}}+\mu \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=0r¨+μr3r=0

推导

牛顿第二定律（惯性系）
m1r¨1=F1=+Gm1m2r3rm2r¨2=F2=−Gm1m2r3r\begin{aligned} m_{1} \ddot{\mathbf{r}}_{1} &=\mathbf{F}_{1}=+\frac{G m_{1} m_{2}}{r^{3}} \mathbf{r} \\ m_{2} \ddot{\mathbf{r}}_{2} &=\mathbf{F}_{2}=-\frac{G m_{1} m_{2}}{r^{3}} \mathbf{r} \end{aligned} m1r¨1m2r¨2=F1=+r3Gm1m2r=F2=−r3Gm1m2r
矢量关系r=r2−r1\mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}r=r2−r1，上两式化简相减。
r¨1=F1m1=+Gm2r3rr¨2=F2m2=−Gm1r3r\begin{aligned} \ddot{\mathbf{r}}_{1} &=\frac{\mathbf{F}_{1}}{m_{1}}=+\frac{G m_{2}}{r^{3}} \mathbf{r} \\ \ddot{\mathbf{r}}_{2} &=\frac{\mathbf{F}_{2}}{m_{2}}=-\frac{G m_{1} }{r^{3}} \mathbf{r} \end{aligned} r¨1r¨2=m1F1=+r3Gm2r=m2F2=−r3Gm1r

r¨=G(m1+m2)r3r\ddot{\mathbf{r}}=\frac{G( m_{1}+m_{2}) }{r^{3}} \mathbf{r}r¨=r3G(m1+m2)r
令μ=G(m1+m2)r3\mu=\frac{G( m_{1}+m_{2}) }{r^{3}}μ=r3G(m1+m2)，即可得二体运动方程。

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