矩阵指数

本人另一篇相关博客：3Blue1Brown系列：e的矩阵指数

解有两种形式：
1.特征向量的线性组合
2.eAtu⃗(0)e^{At}\vec{u}(0)eAtu(0)

用新形式 eAtu⃗(0)e^{At}\vec{u}(0)eAtu(0) 求微分方程组 u⃗(t)\vec{u}(t)u(t) 的解

eAt=I+At+12(At)2+⋯A=XΛX−1e^{At}=I+At+\frac{1}{2}(At)^2+\cdots\\ ~\\ A=X\Lambda X^{-1} eAt=I+At+21(At)2+⋯ A=XΛX−1

例子：

解有两种形式：
1.特征向量的线性组合
2.eAtu⃗(0)e^{At}\vec{u}(0)eAtu(0)

因为矩阵AAA是三角矩阵所以矩阵AAA的特征值在其对角线上：λ1=1、λ2=2\lambda_1=1、\lambda_2=2λ1=1、λ2=2
Ax⃗1=λ1x⃗1[1102][a1a2]=[a1a2]a1=1、a2=0Thefirsteigenvectorx⃗1=[10]u⃗1(t)=etx⃗1A\vec{x}_1=\lambda_1\vec{x}_1\\ ~\\ \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=1、a_2=0\\ ~\\ The\ first\ eigenvector\ \vec{x}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\\ ~\\ \vec{u}_1(t)=e^{t}\vec{x}_1 Ax1=λ1x1 [1012][a1a2]=[a1a2] a1=1、a2=0 The first eigenvector x1=[10] u1(t)=etx1
Ax⃗2=λ2x⃗2[1102][a3a4]=2[a3a4]a3=1、a4=1Thesecondeigenvectorx⃗2=[11]u⃗2(t)=e2tx⃗2A\vec{x}_2=\lambda_2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_3=1、a_4=1\\ ~\\ The\ second\ eigenvector\ \vec{x}_2= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \vec{u}_2(t)=e^{2t}\vec{x}_2 Ax2=λ2x2 [1012][a3a4]=2[a3a4] a3=1、a4=1 The second eigenvector x2=[11] u2(t)=e2tx2

u⃗(0)=c1x⃗1+c2x⃗2[21]=c1[10]+c2[11]c1=c2=1\vec{u}(0)=c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}=c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+c_2 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ ~\\ c_1=c_2=1\\ u(0)=c1x1+c2x2 [21]=c1[10]+c2[11] c1=c2=1
解的第一种形式：
u(t)=c1u1(t)+c2u2(t)\boldsymbol{u}(t)=c_1\boldsymbol{u}_1(t)+c_2\boldsymbol{u}_2(t) u(t)=c1u1(t)+c2u2(t)

因为矩阵AAA是三角矩阵所以矩阵AAA的特征值在其对角线上：λ1=1、λ2=2\lambda_1=1、\lambda_2=2λ1=1、λ2=2
矩阵AAA的特征值组成 eΛte^{\Lambda t}eΛt
求解出矩阵AAA的特征向量组成矩阵XXX，再求其逆得到X−1X^{-1}X−1
解的第二种形式

矩阵A不可被对角化的例子：

u⃗(t)=eAtu⃗(0)u⃗(t)=et[I+(A−I)t]u⃗(0)\vec{u}(t)=e^{At}\vec{u}(0)\\ ~\\ \vec{u}(t)=e^t[I+(A-I)t]\vec{u}(0) u(t)=eAtu(0) u(t)=et[I+(A−I)t]u(0)

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