基于滤波的算法

拉普拉斯网格平滑算法

可以认为定义在顶点上的信息是一个信号流 f ( x , t ) , 这个信号会随时间扩散可以认为定义在顶点上的信息是一个信号流f(x,t), \\这个信号会随时间扩散可以认为定义在顶点上的信息是一个信号流f(x,t),这个信号会随时间扩散

扩散方程为 ∂ f ( x , t ) ∂ t = λ Δ f ( x , t ) 扩散方程为\frac {∂f(x,t)}{∂t}=\lambda \Delta f(x,t) 扩散方程为∂t∂f(x,t)=λΔf(x,t)

应用到网格上定义 f ( t ) = ( f ( v 1 , t ) , . . . , f ( v n , t ) ) T 应用到网格上定义f(t)=(f(v_1,t),...,f(v_n,t))^T 应用到网格上定义f(t)=(f(v1,t),...,f(vn,t))T

每个顶有独立的扩散方程 ∂ f ( v i , t ) ∂ t = λ Δ f ( x i , t ) , Δ f ( x i , t ) 是拉普拉斯算子每个顶有独立的扩散方程 \frac {∂f(v_i,t)}{\partial t}=\lambda \Delta f(x_i,t),\\ \Delta f(x_i,t)是拉普拉斯算子每个顶有独立的扩散方程∂t∂f(vi,t)=λΔf(xi,t),Δf(xi,t)是拉普拉斯算子

总体表达式 ∂ f ( t ) ∂ t = λ L f ( t ) , L 是拉普拉斯矩阵总体表达式\frac {\partial f(t)}{\partial t}=\lambda Lf(t), L是拉普拉斯矩阵总体表达式∂t∂f(t)=λLf(t),L是拉普拉斯矩阵

利用上式可以使用迭代的方式去平滑网格

f ( t + h ) = f ( t ) + h ⋅ ∂ f ( t ) ∂ t = f ( t ) + h λ ⋅ L f ( t ) f(t+h) = f(t) +h\cdot \frac{\partial f(t)}{\partial t} = f(t)+h\lambda \cdot Lf(t) f(t+h)=f(t)+h⋅∂t∂f(t)=f(t)+hλ⋅Lf(t)

x i = x i + h λ ⋅ Δ x i x_i = x_i+h\lambda \cdot \Delta x_i xi=xi+hλ⋅Δxi

当拉普拉斯里的 w i j 取 c o t 拉普拉斯算子时， Δ x = − 2 H n , H 是平均曲率， n 是法向当拉普拉斯里的w_{ij}取cot拉普拉斯算子时，\Delta x=-2Hn, \\ H是平均曲率，n是法向当拉普拉斯里的wij取cot拉普拉斯算子时，Δx=−2Hn,H是平均曲率，n是法向

当拉普拉斯算子为cot时，点会沿法向移动。
当拉普拉斯算子为uniform时，点会向边上的点靠近。

fairing

通过固定2端，定义中心高阶拉普拉斯算子为0，然后解出过渡区域。
阶次越高越光滑。

高斯函数滤波算法

高斯函数 W ( x ) = e − x 2 2 σ 2 , σ 是参数需要用户给定高斯函数W(x)=e^{-\frac {x^2}{2\sigma^2}}, \sigma 是参数需要用户给定高斯函数W(x)=e−2σ2x2,σ是参数需要用户给定

高斯滤波

I ( p ) = 1 K p ∑ q ∈ Ω ( p ) W s ( ∣ ∣ p − q ∣ ∣ ) ⋅ I ( q ) I(p) = \frac{1}{K_p} \displaystyle \sum_{q\in Ω(p)} W_s(||p-q||)\cdot I(q) I(p)=Kp1q∈Ω(p)∑Ws(∣∣p−q∣∣)⋅I(q)

双边滤波
I ( p ) = 1 K p ∑ q ∈ Ω ( p ) W s ( ∣ ∣ p − q ∣ ∣ ) W r ( ∣ ∣ I ( p ) − I ( q ) ) ∣ ∣ ) ⋅ I ( q ) I(p) = \frac{1}{K_p} \displaystyle \sum_{q\in Ω(p)} W_s(||p-q||)W_r(||I(p)-I(q))||)\cdot I(q) I(p)=Kp1q∈Ω(p)∑Ws(∣∣p−q∣∣)Wr(∣∣I(p)−I(q))∣∣)⋅I(q)

p可以是顶点坐标，法向等，具体效果不一样。
效果比较好的是先确定法向，然后根据法向去恢复顶点。

I§ 是信号，可以是法向，拉普拉斯算子，切平面与周围点高度差。

基于三角面法向的双边滤波网格平滑算法实现

基于优化的算法

假设模型中存在一些平的区域(flat region)。
最终希望把平的区域最大化。

L0 算法

一个区域平，说明梯度是0。

E = ∣ c − c ∗ ∣ 2 + ∣ Δ c ∣ 0 E = |c-c^*|^2+|\Delta c |_0 E=∣c−c∗∣2+∣Δc∣0

c 是输出顶点 c ∗ 是输入顶点 c是输出顶点\\c^*是输入顶点 c是输出顶点c∗是输入顶点
Δ c 是梯度 ∣ Δ c ∣ 0 是梯度的 0 模 \Delta c 是梯度\\ |\Delta c |_0 是梯度的0模 Δc是梯度∣Δc∣0是梯度的0模

去优化这个方程，希望大部分区域的梯度为0。
以述方程不好优化，引入变量。

优化过程中 β 要不断增大，当 β 比较大时，就像是优化 δ 优化过程中\beta要不断增大，当\beta 比较大时，就像是优化\delta 优化过程中β要不断增大，当β比较大时，就像是优化δ

可以采用交替迭代法优化上述能量。

当给定 c 时，去优化 β ∣ Δ c − δ ∣ 2 + λ ∣ δ ∣ 0 当给定c时，去优化\beta |\Delta c-\delta |^2+\lambda |\delta|_0 当给定c时，去优化β∣Δc−δ∣2+λ∣δ∣0

当给定 δ 时，去优化 ∣ c − c ∗ ∣ 2 + β ∣ Δ c − δ ∣ 2 当给定\delta时，去优化|c-c^*|^2+\beta |\Delta c-\delta |^2 当给定δ时，去优化∣c−c∗∣2+β∣Δc−δ∣2

第二个是二值优化问题，可以使用最小二乘解决。

第一个是有解析解。

δ i = { 0 , i f β ( Δ c i ) 2 ≤ λ Δ c i , o t h e r w i s e \delta_i = \left\{\begin{array}{l}0,if \beta(\Delta c_i)^2\leq\lambda\\\Delta c_i, otherwise\end{array}\right. δi={0,ifβ(Δci)2≤λΔci,otherwise

网格应用

可以让c当成顶点坐标，也可以当法向。
使用cot拉普拉斯算子，可以满足平面时值为0。

使用边的拉普拉斯算子。

基于面积的拉普拉斯算子。

基于法向的优化

基于数据驱动的算法

在滤波算法中有很多参数要确定。
可以设定一个函数F帮助我们先出最优的法向。
具体输入就是不同参数产生出来的高斯滤波结果。
可以使用多组参数进行训练，进行k-means分类，让法向的计算由大数据来筛选。

训练集获取：先找一个好的三角网格，然后对网格加噪，然后对每个面进行高斯滤波操作，以这个作为输入，以原来的法向作为输出进行训练。

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