Chango的数学Shader世界（九）流体模拟-散度，梯度，二阶导与拉普拉斯

目的：

参考《GPU Gems》，在UE4中尝试重现2D流体模拟。

本节试图结合场论知识粗略理解Navier–Stokes equations。

参考：

《GPU Gems》

观察：

水中染料

流体制作MV

（《花样年华》梁朝伟）

《GPU Gems》中的Navier–Stokes equations描述了一个流体的4部分运动：

平流项：烟随着速度场向上升

压力项：烟碰到顶灯受到顶部压力，离压力源近的烟分子被碰撞，并将这个压力传播出去。

扩散项：在烟上升的过程中，其分子会扩散，整个烟的形状不会保持不变地向上。

外力项：随意。如手挥过，烟受外力影响变化。

分析：

1.数学前提：

矢量微积分/场论，推荐IEEE成员-梁昌洪老师的公开课。b站上3Blue1Brown也有若干相关视频。

2.《GPU Gems》希望在2维平面进行水流流体模拟。

公式：

方程一：

$\frac{\partial u}{\partial t}=-(u\cdot \nabla)u-\frac{1}{\rho }\nabla P+k\nabla^{2}u+F$

方程二：

$\nabla \cdot u=0$

（注意：为方便，改写符号）

其中，u是x,y方向速度矢量场，t是时间， $\rho$ 是流体密度（常数），P是压力数值场，k是动力粘度，F是外力。

在二维平面上，方程1可拆解为(x,y)两方向的速度(u1,u2)

$\frac{\partial u1}{\partial t}=-(u\cdot \nabla)u1-\frac{1}{\rho }\nabla P+k\nabla^{2}u1+f_{x}$

$\frac{\partial u2}{\partial t}=-(u\cdot \nabla)u2-\frac{1}{\rho }\nabla P+k\nabla^{2}u2+f_{y}$

方程二告诉我们，模拟的是一个无源场。

在我看来，方程一的核心思想，就是热传导。

方程一分4部分拆解：

平流项：

$-(u\cdot \nabla)u$

展开：

$=-(u1\frac{\partial }{\partial x}+u2\frac{\partial }{\partial y})u$

$=-(u1\frac{\partial }{\partial x}+u2\frac{\partial }{\partial y})*(u1,u2)$

$=-(u1\frac{\partial u1}{\partial x}+u2\frac{\partial u1}{\partial y},u1\frac{\partial u2}{\partial x}+u2\frac{\partial u2}{\partial y})$

也就是说，u1,u2的加速度平流部分为：

$\frac{\partial u1}{\partial t}=-(u1\frac{\partial u1}{\partial x}+u2\frac{\partial u1}{\partial y})=-u1\frac{\partial u1}{\partial x}$

$\frac{\partial u2}{\partial t}=-(u1\frac{\partial u2}{\partial x}+u2\frac{\partial u2}{\partial y})=-u2\frac{\partial u2}{\partial y}$

注意，这里的速度符号u1,u2和位置符号x,y不能搞混。

对于像我这样的新手， $\nabla$ 算子的运算规则也要十分小心。

这里处于 $(u\cdot \nabla)f$ 位置的 $\nabla$ 算子又被称为平流算子(advection operator)。

那为什么这个 $-(u\cdot \nabla)u$ 方程就是平流呢？什么是平流？

我一开始也被搞糊涂了，直到看到实现的时候这个项的变化。

举个实在例子，设d为染料浓度，在这里我们假设d是一个属于(0,1)的数量场，0为纯白流体，1为黑色染料。水体在流动时，一些染料被跟着带走。那么就有

$\frac{\partial d}{\partial t}=-(u\cdot \nabla)d$

$\frac{\partial d}{\partial t}=-(u1\frac{\partial d}{\partial x}+u2\frac{\partial d}{\partial y})$

令d有x,y轴分量场d=d1+d2，则有

$\frac{\partial d1}{\partial t}=-u1\frac{\partial d1}{\partial x}$

我们令速度场不随时间变化。

如果u1还不随x变化，那么u1就是一个常数，此时就是一个标准的一维平流方程（Advecation Equation）。

为了看出此方程对染料干了什么，我还是让u1随空间变化。

我尝试解这个偏微分方程，但失败了，转看wiki:

“The advection equation is not simple to solve numerically: the system is a hyperbolic partial differential equation, and interest typically centers on discontinuous "shock" solutions (which are notoriously difficult for numerical schemes to handle).

Even with one space dimension and a constant velocity field, the system remains difficult to simulate. ”

看来照目前情况咱没能力解方程。

但通过搜索可知，一种解是：

$d1(x,t+\delta t)=d1(x-u1(x)*\delta t,t)$

阿，尼马。绕了半天你就为得到这么一个结果，即当前帧的某位置p1浓度就是前一帧的在位置 $p_{0}=(p_{1}-u*\delta t)$ 的浓度。

也就是速度场带着浓度平移（流动），看下图一眼便知：

那为什么你这个 $-(u\cdot \nabla)u$ 要用速度场带动速度场呢？这又是个什么玩意呢？你实现里也没有，我也不懂，wdnmd我被搞了。

由此，我们再次体会到平流算子 $(u\cdot \nabla)f$ 这种叫法的正确性。平流只是连接速度场与被平流场的一个算子。

压力项：

$-\frac{1}{\rho }\nabla P$

一目了然，向着压力场（数值场）的负梯度方向调整。其压力场概念图类似这样：

扩散项：

$k\nabla^{2}u$ 。

拉普拉斯算子，是各轴二阶导数之和。离散地来看，二阶导数反应了该点与附近两点相差的平衡。

而加上二阶导数这一行为，从微观上表现了该点试图与周围点保持平衡。

热传导中的拉普拉斯方程就可以这样理解，3B1B在此视频的10分钟讲得很清楚。

像烟雾因为热力学原因要往周围扩散，或者是水流因为其他原因要扩散，用速度场希望“热传导平衡”来模拟，问题也不大。

外力项：

略。

结语

本篇参考《GPU Gems》，对书中采用的Navier–Stokes equations进行了粗略地分析，有了直观上的感受。接下来继续结合理论知识，最终推导出能适用于GPU编程的离散形式。

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结语

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