Chango的数学Shader世界（七）水波模拟-透明水面，菲涅尔(Fresnel)效应

目的：

解析，改进，批评一个国外免费透明水面Shader，进一步了解Shader背后的物理原理。

参考：

菲涅尔反射

分析：

我将原水面Shader一再简化，从中抽取最主要的部分，忽略细枝末节，并改掉缺陷，指出不足。

简化版：

1.造型

其中，顶点偏移，也就是波的造型，是用贴图制造的，一目了然：

就是一张高度图经过4方向扰动，乘以波高度。然后它再乘上顶点法线在世界坐标系上的Z轴高度，这个莫名奇妙的操作会使得Normal朝上的顶点的波高更加高，而偏的更加低。我认为编者脑子里也不清楚，所以我修改了，直接乘以(0,0,1)。如果你的高度图只有b通道，这个(0,0,1)都不用乘。

2.Fresnel_Function

再观原材质图，你一定会注意到我们的主角，一个叫Fresnel_Function的节点。

UE4这样起名字，也真是大言不惭，一会我们会说到。

这个节点，涉及到一个现象，菲涅尔效应。国外一般不称为效应，搜索Fresnel equations。

现象倒是很简单：

对着玻璃看，越斜着看，它反射越多，越不透明，越像镜子；

正着看，反射越少，就越透明。

我们在生活中常常见到过这种现象：

（我怀疑夏天远方道路反光，也是这个原因）

总之，这是个在各个材质上都很普遍发生的现象，包括水面。

如果说我们之前的不透明水面本质就是镜子，那我们这次的透明水面本质就是玻璃。

真正的Fresnel方程比较复杂，可脱胎于麦克斯韦电磁学方程。

对于透明物体：

然而UE4的Fresnel_Function节点的方程并不根据实际。它利用视线与平面越垂直，反射越少这一点，进行了粗略模拟。这个方程也是图形学中常见的:

$F=(1-(V\cdot N))^{power}$

其中V向量是像素点到相机位置的向量，也就是光照模型中常见的View向量，与法线N起点一致。power用来控制效果，显然由于1-V·N在[0,1]间，power越大，那么越垂直于N的V的F才越大。在下图中，也就是当power越来越大，黑色会扩大，而白环会减少，慢慢收缩到最边缘那些法线十分垂直于视线的顶点上（白色为1，黑色为0）：

显然这个函数可以用来做边缘光等其他特效。

那么，我们回过头来看透明水波材质。它的Fresnel节点的power赋予了5，十分接近边缘：

注意：

以下简称Fresnel_Fuction(...)为Fresnel(power)。

以下称V垂直于N的情况为“垂视”

3.金属度(Metallic)

原材质给金属度设置的是0。可以理解，因为金属材质不发生菲涅尔效应，而且金属度越高，透明金属材质越丢失BaseColor。但金属度太低，水的透明和反光也就低了一个层次。看下金属度为1的水面，按需求和风格调整即可：

（油腻的反光又出现了）

4.反光度(Specular)

反光直接给1，没什么好说的。给0就失去了波光粼粼的效果。

5.粗糙度(Roughness)

回看透明水波材质。它的粗糙度被设置为：

$Lerp(0.1,0,Fresnel(5))$

也就是越垂视的地方粗糙度越为0，完全光滑;其他地方为0.1，也很光滑，但较边缘差了点。

对于对面，从直觉上来说是这样，而且Roughness影响反射光计算，越光滑反射越多，符合菲涅尔效应。

实际效果上对比不明显。

6.不透明度(Opacity)

$Lerp(0.5,1,Fresnel(5))$

越垂视，越不透明。也符合菲涅尔效应。

7.折射率(Refraction)

$Lerp(1.1,1.3,Fresnel(5))$

在介质密度不同的表明，光发生折射。从低密度到高密度，折射角小于入射角。

回忆初高中物理，折射率定律。国外更一般叫成斯涅尔定律(Snell's Law)：

$\frac{n2}{n1}=\frac{sin(\theta _{1})}{sin(\theta _{2})}$

由于真空密度最低，或者说真空光速最快，所以所有的材质折射率都大于1。

从真空射入某材质：

$\frac{n_{out}}{n_{vacuum}=1}=\frac{sin(\theta _{in})}{sin(\theta _{out})}=c/v$

透明水波Shader认为越垂视，折射率越高，这是对的。首先直觉上，越弯曲的玻璃，折射越厉害。

其次，你可以认为空气与水折射率不变，当入射角变大，那么折射率一定要变大。

或者你可以认为折射率=c/v，在垂视的地方，光路更长，相当于v更小，所以折射率更大了。

8.风格化法线

你可能会发现我们这个水波像是三角透明玻璃组成的，十分风格化。放大之后是这样的：

原因是这个透明水波Shader的法线。

图中用了一个函数称为Shine_func，打开后发现实现十分简单，效果也和迪厅反光球一样：

关键是DDX和DDY是什么？

这个蛋疼的起名让我一开始以为是二阶导数，但明显不对。经过搜索我发现它就是屏幕空间x方向偏导数和y方向偏导数。

问题在于为什么结果它是这样的，而不是我们之前那么顺滑的连续函数。

以DDX为例，就是检查当前像素点(Pixel)在屏幕水平方向上离得最近的左右两个顶点(Vertex)，计算从左顶点到右顶点的空间向量，再归一化。

我将这个结果赋予BaseColor，这样看的准一点。

当屏幕向右是世界系y方向时，其值偏向为(0,0,1)。因为屏幕上的顶点从左到右，顶点向y轴方向变化（注意左下角世界坐标系的方向）：

当我大致面朝(1,1,0)方向：

注意到方块红面由于在往屏幕右方向走时，顶点世界位置x增大（导数大于0），y不变（导数为0），而z变小（导数为负，负数clamp后为0），其ddx为(1,0,0)

方块上面由于在往屏幕右方向走时，顶点的x,y方向都有增加且一样，ddx为(1,1,0)

当我的屏幕右方向更接近x轴时，方块黄面开始变红：

尽管我们的相机位置一直在变，同一个顶点的DDX和DDY也在变，但其都保持在切平面上，叉乘出来也一定是法线方向。

这里可以看出UE4材质系统的2个缺点：

1.明明与真正的WP无关，但却必须引用这个节点，给读者以误导

2.程序执行顺序对用户不清楚。这里的WP明显是已经经过WPOffset以后的WP了。WPOffset中的WP节点和这里的WP节点明明一样，出来的值却不一样，若不是我们知晓渲染管线流程，就会被搞得怀疑人生。

9.问题一：法线

上面看出来了，叉乘出来的法线应该属于世界坐标系，但我们的材质默认是切线空间法线。原材质连这个都没注意到，所以我说编者脑子不清楚。

你可能记得，材质有个选项可以修改。但因为一个蛋疼的原因，我们不得不手动计算，之后会讲到。我们需要手动将世界坐标系的法线转到切线坐标系。

（上图从左到右分别是原法线，编者原材质水波法线，和我修改后的法线。我猜由于透明水波既没什么阴影，水波的折射是否正确也很难有人看出来，所以这个问题没人注意。）

所幸UE4有节点轻松解决坐标系转换：

10.问题二：折射

看到没有，球下方边缘有很奇怪的折射。

本来是水面折射，怎么会和球有关？既然有“屏幕空间反射”，那么这个折射是不是也是基于屏幕空间算的，然后出的问题呢？

在材质detail中搜索Refraction，我们发现引擎提供2种算法，默认算法是这样的：

简单地来说它警告你不要用于像水面一样的大面积折射面。关于为什么会有这个bug它也没说细说，只说这个是物理模拟。

我选择第二种：

它说这个折射是个假模拟，值给1就是没折射，2就是offset为1的折射。这个offset是啥意思它也没说清楚。还告诉我们必须用切线空间法线，这就是为什么我们之前要手动转换。

蛋疼吗？蛋疼。UE4辣鸡吗？辣鸡。

我更改"折射"为：

$Lerp(1.1,1.9,Fresnel(5))$

因为这个假折射率要比较大，折射效果才明显。没办法，谁叫真折射有Bug呢？咱目前这种情况，就是我写本系列教程的缘由，了解原理，运用原理，避免这种情况。因为弱势，所以被牵着鼻子走，不知道在干什么。很不幸，我因为辣鸡，又碰上了这种情况，成为了一个"能用就行"的乞讨者。

以后有机会尝试改写引擎代码，改写这个折射。

结语：

本篇解析，改进，批评一个国外免费透明水面Shader，对简单的物理和材质系统进行初步了解。

由于能力的不足，在折射问题上最终又成为了一个被拦在原理和实现之外的人。之后提升自己的能力，改变这一状况。

水波模拟系列到此告一段落。