文章目录

参考资料
相关问题
相关参数
原理介绍
- 1.基本概念
- - 1.1 顶点表示
  - 1.2 边表示
  - 1.3 数据结构
  - - 1.3.1 元素
    - 1.3.2 存储方式
    - 1.3.3 查找方式
- 2.算法实现
- - 2.1 查找种子点（Find Seed Triangle）
  - 2.2 球旋转（Ball Pivoting）
  - - 2.2.1 旋转操作
    - 2.2.2 join和glue操作
    - 2.2.3 Out-of-Core extension
    - 2.2.4 多次传球（Multiple Passes）
Remarks

参考资料

[1] 原文
[2] 滚球法Github链接
[3] BPA PDF
[4] 文中提到的空洞填补论文（A Volumetric Method for BuildingComplex Modcls from Range Images）

原理介绍

1.基本概念

1.1 顶点表示

每条边eije_{ij}eij由两个端点(σi,σj)(\sigma_i,\sigma_j)(σi,σj)表示，相对顶点（opposite vertex）σo\sigma_oσo，连接此三个顶点的球的中心为cijoc_{ijo}cijo，半径为ρ\rhoρ

球旋转操作:

添加三角形的连接操作（去除边eije_{ij}eij并添加两条新边eike_{ik}eik、ekje_{kj}ekj）:

1.2 边表示

沿着front的同一个闭合回路连接前一条边（previous dege）和后一条边（next edge）
每条边有三种状态：

1.activeactiveactive：用于旋转

2.boundaryboundaryboundary：不能旋转的边

3.frozenfrozenfrozen

将所有信息与edge一起保存,可以使得旋转球的过程变得简单

1.3 数据结构

1.3.1 元素

ball_pivot和find_seed_triangleball\_pivot和find\_seed\_triangleball_pivot和find_seed_triangle这两个过程需要对包含在空间领域内的点子集进行有效查找，可以使用 立方体单元格（a regular grid of cubic cells）或者体素（Voxel） 进行实现

1.3.2 存储方式

数据点保存在桶排序（Bucket sort）的链表（Lists）中，每个体素形成一个“桶”，体素的尺寸为δ=2ρ\delta=2\rhoδ=2ρ,相同体素内的数据点形成连续的子列表（“桶”），每个体素存储一个指向其子链表开头的指针（如果体素内没有数据则指向下一个体素）

1.3.3 查找方式

给定点ppp，将它的坐标除以δ\deltaδ（体素尺寸即球直径）便可以很容易的查找它所属的体素（优化点1）
我们通常需要查找到点ppp距离2ρ2\rho2ρ（球直径即体素尺寸）以内的所有点，这些点都包含在与V相邻的27个体素中（包括V本身）

2.算法实现

2.1 查找种子点（Find Seed Triangle）

（1）选取没有被使用过的任意点σ\sigmaσ
（2）按到σ\sigmaσ的距离考虑其邻域内的点对（pairs）σa,σb\sigma_a,\sigma_bσa,σb
（3）创建潜在的种子三角形σ，σa,σb\sigma，\sigma_a,\sigma_bσ，σa,σb
（4）检查三角形法线与其顶点法线是否相同（如向外指向）
（5）检查中心在外半空间（猜测：利用法向判断方向）的半径为ρ\rhoρ的球是否接触三个顶点并且不包含其他数据点
（6）找到所有有效种子点时停止
一些问题：
（1）对于主表面附近的一些噪声点（如配准时产生的重影）容易形成一些小的潜在种子三角形，虽然很容易通过后滤波去除掉，但是会浪费大量的计算资源（优化点2）

噪声样本导致产生了两层数据:

（2）每个体素只考虑将其中一个点作为种子三角形的顶点，在体素区域内的表面（surface）法向用该体素内所有点的法向的均值表示
（3）当找到seed后就开始用Pivoting操作进行重建，当不能继续旋转时就在停止位置寻找新的种子点，跳过所有包含已组成三角形顶点的体素（体素中有一个点是已找到的三角形中的顶点），当无法再找到seed时，停止算法

2.2 球旋转（Ball Pivoting）

2.2.1 旋转操作

球旋转操作：

其中：

m：m：m：顶点σi、σj\sigma_i、\sigma_jσi、σj的中点
σi、σj：\sigma_i、\sigma_j：σi、σj：旋转edge的两个端点
σx：\sigma_x：σx：待检测连接的点（以mmm为中心的2ρ2\rho2ρ邻域内的所有点）
cx：c_x：cx：与σx、σi、σj\sigma_x、\sigma_i、\sigma_jσx、σi、σj接触的圆球的中心

所有的cxc_xcx都位于环形轨迹（circular trajectory）γ\gammaγ上，通过计算球ρ\rhoρ与圆γ\gammaγ的交点便可计算出在σx\sigma_xσx处的圆中心点
记录下第一个接触（hit）到的点的坐标及其对应的球中心
（可通过添加一些约束条件（Trivial rejection）以加速寻找第一个接触到的点）（优化点3）

2.2.2 join和glue操作

joinjoinjoin和glueglueglue操作：

沿着边eije_{ij}eij旋转，触碰的点为σk\sigma_kσk
情况一：σk\sigma_kσk不是meshmeshmesh中的点
输出三角形(σk、σi、σj)(\sigma_k、\sigma_i、\sigma_j)(σk、σi、σj)并移除边eije_{ij}eij并添加两条新边eike_{ik}eik、ekje_{kj}ekj

情况二：σk\sigma_kσk已经是meshmeshmesh中的点
（1）σk\sigma_kσk是当前mesh内部的点
即当前mesh所有的边（edge）都没有包含顶点σk\sigma_kσk（σk\sigma_kσk不在当前mesh的边界（front）上）
边eije_{ij}eij会被标记为boundaryboundaryboundary
（2）σk\sigma_kσk是front（当前mesh边界edge）上的点
首先检查添加候选三角形不会造成非流形（nonmanifold）或不可定向流形（nonorientable manifold）
待查1：（检查可以通过检查连接（incident）到σk\sigma_kσk的edge是否存在（existence）以及其方向（orientation）来确定）
随后即可执行join与gluejoin与gluejoin与glue操作

2.2.3 Out-of-Core extension

核心外扩展（Out-of-Core extension）可以采取阵面推进法（advancing-front method）
文章中使用了简单数据切片方案（simple data-slicing scheme）
基本思想：缓存当前用于旋转（Pivoting）的数据集的一部分来转储不再使用（no longer being used）的数据（即已经找到三角形的区域），加载需要的数据
（1）使用两个轴对齐（Axis-aligned）的平面π0\pi_0π0与π1\pi_1π1来定义用于旋转的活动工作区域
（2）初始化π0\pi_0π0的条件：没有数据在该平面之下（below）
（3）π1\pi_1π1：在π0\pi_0π0之上（above）一定距离（用户指定distance）
（4）创建edge后，测试其端点是否高于(above)π1\pi_1π1，是的话就将其标记为frozenfrozenfrozen
（5）当队列中所有的edge都被frozenfrozenfrozen后，向上抬升π0\pi_0π0和π1\pi_1π1，并将所有frozenfrozenfrozen的edgeedgeedge更新为activeactiveactive的edgeedgeedge
（6）当相应的边界框进入或退出活动切片（slice）时，将从内存加载或丢失对应的数据点子集（优化点4）

2.2.4 多次传球（Multiple Passes）

处理采样不均匀表面，可通过增加球半径进行多次传递的方法改善

Remarks

1.算法复杂度对于数据点数目上是线性的，并且是按照线性存储的
2.密度有界假设，此假设适用于扫描数据（scanned data），就算多次重复扫描，任意区域的点总数也是在已知的常量范围之内
3.算法大部分步骤都是复杂度为O(1)O(1)O(1)的操作（如更新到队列、链接链表等）
4.每次ball_pivotball\_pivotball_pivot操作都要在不同的meshedgemesh\ edgemesh edge上进行，所以旋转次数（复杂度）为O(n)O(n)O(n)
5.一次单独的pivotpivotpivot需要识别2ρ2\rho2ρ邻域内的所有点，可以将候选点周围27个体素内的作为需识别的点，因为密度有界，所以这些点总数会限定在常数BBB内
6.find_seed_trianglefind\_seed\_trianglefind_seed_triangle依次选取未被使用过的点，因为每个点最多被使用一次，因此此操作的复杂度也为O(n)O(n)O(n)
7.考虑待选seed是否被接受时，需要根据接触三个顶点的球对周围邻域内的所有点进行区分，因此复杂度为O(B3)O(B^3)O(B3)
8.BPA的空间复杂度为O(n+L)O(n+L)O(n+L)，O(L)O(L)O(L)体素总数，O(n)O(n)O(n)是数据数目，可通过“切片”（阵面推进法）方法控制

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