二次规划算法学习笔记

在人脸表情动画的研究中，大部分工作都是通过采集每一时刻的面部运动数据，并求出该数据在表情基中的线性组合。而这个计算问题是一个典型的二次规划问题，如下面的式子所示。

通过上述问题求出的结果（即每个表情基对应的权重）作用与各个表情基上就能实现逼真的表情动画了，而求解二次规划的方法有很多，下面重点介绍有效集方法的理论并进行相应的代码实现。

一般的二次规划的形式如下：

下面是matlab实现的有效集解法：

function [x,lamk,exitflag,output]=qpact(H,c,Ae,be,Ai,bi,x0)
% 功能: 用有效集方法解一般约束二次规划问题:
%   min f(x)=0.5*x'*H*x+c'*x,
%    s.t.  a'_i*x-b_i=0,(i=1,...,l),
%           a'_i*x-b_i>=0,(i=l+1,...,m)
%输入:  x0是初始点, H, c分别是目标函数二次型矩阵和向量；
%   Ae=(a_1,...,a_l)',  be=(b_1,...,b_l)';
%   Ai=(a_{l+1},...,a_m), bi=(b_{l+1},...,b_m)'.
%输出:  x是最优解， lambda是对应的乘子向量；output是结构
% 变量, 输出极小值f(x), 迭代次数k等信息, exitflag是算法终止类型
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 初始化
%epsilon 是一个很小的数，用于辅助不等式判断，
%如在进行 >= 的判断时，往往是 x>=b+epsilon，err也是一个类似的量
epsilon=1.0e-9; err=1.0e-6;
k=0; x=x0;  %k为迭代次数，x0为初始点
n=length(x);  kmax=1.0e3;   %kmax最大迭代次数
ne=length(be); ni=length(bi); lamk=zeros(ne+ni,1);
index=ones(ni,1);
for (i=1:ni)
if(Ai(i,:)*x>bi(i)+epsilon), index(i)=0; end
end
%算法主程序
while (k<=kmax)
%求解子问题
Aee=[ ];
if(ne>0),  Aee=Ae; end
for(j=1:ni)        %不等式约束的个数
if(index(j)>0), Aee=[Aee; Ai(j,:)]; end    %将不等式约束和等式约束的稀疏矩阵合并
end
%   min f(x)=0.5*x'*H*x+c'*x,
%    s.t.  a'_i*x-b_i=0,(i=1,...,l，l+1,...,m),
%    将不等式约束改为等式约束求解子问题。
gk=H*x+c;
[m1,n1] = size(Aee);
[dk,lamk]=qsubp(H,gk,Aee,zeros(m1,1));       %计算出极小点dk和拉格朗日乘子向量lamk
if(norm(dk)<=err)                            %dk为0的时候转入第二步
y=0.0;
if(length(lamk)>ne)
[y,jk]=min(lamk(ne+1:length(lamk))); %确定有效集中lamda的最小元素。
end
if(y>=0)
exitflag=0;                          %如果每个lamda都大于零，这dk为全局极小点，
else                                     %否则减去lamda对应的有效集元素，形成新的有效集
exitflag=1;
for(i=1:ni)
if(index(i) & (ne+sum(index(1:i)))==jk)   %如果lamda对应的有效集位置为jk，且索引为1，则将索引置0
index(i)=0; break;                    %确保在之后的计算中，不在计算当前不等式约束。
end
end
end
k=k+1;
else                                         %如果dk不等于0，转入第三步
exitflag=1;                              %确定步长alpha
%求步长
alpha=1.0; tm=1.0;
for(i=1:ni)
if((index(i)==0)&(Ai(i,:)*dk<0))
tm1=(bi(i)-Ai(i,:)*x)/(Ai(i,:)*dk);  %alpha的计算见第三步的具体公式
if(tm1<tm)
tm=tm1; ti=i;
end
end
end
alpha=min(alpha,tm);                        %选取最小的alpha，一般为边界点对应的alpha
x = x+alpha*dk;                             %确定新的x位置。
%修正有效集
if(tm<1), index(ti)=1; end
end
if(exitflag==0), break; end
k=k+1;
end
output.fval=0.5*x'*H*x+c'*x;
output.iter=k;

%%%%%%%% 求解子问题 %%%%%%%%%%%%%%%                 求法见附A
function [x,lambda]=qsubp(H,c,Ae,be)               %求解子问题即，求解一个等式约束的二次规划，
ginvH=pinv(H);
[m,n]=size(Ae);
if (m>0)
rb = Ae*ginvH*c + be;
lambda = pinv(Ae*ginvH*Ae')*rb;
x = ginvH*(Ae'*lambda-c);
else
x = -ginvH*c;
lambda = zeros(m,1);
end

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