MPC的终结——二次规划求解约束极值问题

约束极值问题的定义及优化方法

带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫规划问题。
求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。为了简化其优化工作，可采用下面两种方法:
1.将约束问题转化为无约束问题；
2.将非线性规划问题转化为线性规划问题。

什么样的目标函数可以用二次规划求解呢？
1.非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数
2.约束条件是线性的

二次规划数学模型

其中，H是实对称矩阵；f,b,beq,lb,ub是列向量；A,Aeq是相应维数的矩阵。
Matlab中求解二次规划的命令：
[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
返回值x是决策向量x的值，返回值fval是目标函数在x处的值。

二次规划求解的例子

Example：

编写程序如下：
H=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
A=[1,1;4,1];
b=[3,9];
[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],zeros(2,1))
这里x1和x2有下界，没有上界，所以根据第三个约束，lb为两行一列的0矩阵，上界为空。
求解得：x1=1.9500，x2=1.0500，minf（x）=-11.0250

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