合作博弈（coalitional game）——核仁（Nucleolus）初解

来源

Coalitional Game Theory for Communication Networks

前置知识

由于详细解释需要一些博弈论的知识，如TU、core等，所以这里只作初解，大致解释下什么叫做Nucleolus方法。
这里我们讨论的是TU canonical games，不理解也没关系，当成最普通的博弈情景就行了。

理解

Nucleolus，本质就是最小化合作博弈中联盟（coalition）的最大不满意程度的一种分配方法。本质是min-max。

概念

合作博弈：字面上理解。
联盟 coalition：一次博弈中组队的几个人，构成一个coalition，常用SSS表示。
归因 imputation：对博弈中所有人的一种分配方式，常用xxx表示，是一个vector，其中xjx_jxj代表对第j个人分配的数值。
联盟值：评价联盟SSS的价值（worth），也有时候被称为特征函数，常用v(S)v(S)v(S)表示。在本文讨论的情况下v是一个实数值。
超出 excess（翻译的可能不准）：一个联盟对某一个分配的不满意程度。e(x,S)=v(S)−∑j∈Sxje(x,S)=v(S)-\sum_{j \in S} x_je(x,S)=v(S)−∑j∈Sxj，即联盟S的价值与联盟中所有人分配的值的差值。可以看出，excess越小，不满意程度越低；若一次博弈中所有S的excess都是0或负值，则这样的x是存在于core中的。（最后一句话可以不用理解）
O(x)O(x)O(x)：一次博弈中所有excess所构成的vector，以非增的顺序排列。
≺lex\prec_{lex}≺lex 顺序小于 lexographically less：定义的一种符号。若y≺lexzy\prec_{lex} zy≺lexz，其中yz都是k维向量，则存在l∈{1,...,k}l \in \{1,...,k\}l∈{1,...,k}，使得y1=z1,...yl−1=zl−1,yl<zly_1=z_1,...y_{l-1}=z_{l-1},y_l<z_ly1=z1,...yl−1=zl−1,yl<zl成立。

核仁是什么

一个公式解决：
O(x)≺lexO(δ)O(x)\prec_{lex}O(\delta)O(x)≺lexO(δ)

其中x就是Nucleolus了，δ\deltaδ是其余任意的imputation。满足这个式子，说明x能使最大的excess最小化，即让最不满意的S不要太过不满意……

举个例子

一个男人有三个老婆，然后他死了。遗产要分给这三个人。1号老婆说要分100元，2号老婆说要分200元，3号老婆说要分300元。如果遗产大于600当然好说，但如果小于600，该怎么分配呢？
我们用Nucleolus来解答这个问题。
记遗产为α\alphaα，3个人有7种可能存在的联盟，我们假设每一个联盟的v(S)就是总遗产数减去S之外其他人需要的遗产数，即：v(S)=max(0,α−∑i∈N\Sci)v(S)=max(0,\alpha -\sum_{i \in N\backslash S}c_i)v(S)=max(0,α−i∈N\S∑ci)

其中N是全体人员的集合，cic_ici是第i个人声称要求的遗产数目。
我们不妨假定α=100\alpha=100α=100，计算这7种联盟下对不同分配方式x的excess，从而得到O(x)O(x)O(x)。

第一种分配方式x1x_1x1，1号给20元，2号给30元，3号给50元。

我们记联盟为{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}。则：O(x1)=[−20,−30,−50,−50,−70,−80,−100]TO(x_1)=[-20,-30,-50,-50,-70,-80,-100]^TO(x1)=[−20,−30,−50,−50,−70,−80,−100]T

每一项就是对每一个v(S)减去实际分配给S的钱，不懂的可以去看看上面的定义。最后结果按照非增方式排序。

第二种分配方式x2x_2x2，1号给1003\frac{100}33100元，2号给1003\frac{100}33100元，3号给1003\frac{100}33100元。
同样可以得到：
O(x2)=[−1003,−1003,−1003,−2003,−2003,−2003,−100]TO(x_2)=[-\frac{100}3,-\frac{100}3,-\frac{100}3,-\frac{200}3,-\frac{200}3,-\frac{200}3,-100]^TO(x2)=[−3100,−3100,−3100,−3200,−3200,−3200,−100]T

可以看到，O(x2)≺lexO(x1)O(x_2)\prec_{lex}O(x_1)O(x2)≺lexO(x1)，至少说明x2x_2x2的分配方式更优。实际上，平均分配是α=100\alpha=100α=100情况下的最优分配方式，这里就不做证明了。
这里可能存在一个疑惑的点：为什么v(S)是这么定义的？关于这点我也没想清楚，如果有谁知道的话麻烦在评论区谈谈。

总结

博弈论真烦。