关于min max 函数凹凸性，以及报童模型中期望库存，期望缺货量的性质

有两个性质比较重要，经常用到：

\begin{align*} \min\{S,D\}&=S-(S-D)^{+}\\ \min\{S,D\} &\text{~~is concave function}\\ (S-D)^{+} &\text{~~is convex function} \end{align*}

\begin{equation}\min\{x-y,0\}=x-\max\{x,y\}\end{equation}

并且：

\begin{equation}I^{+}=\int_{0}^{S} (S-t)f(t)dt\end{equation}

\begin{equation}I^{-}=\int_{S}^{\infty} (t-S)f(t)dt\end{equation}

\begin{equation}I^{+}-I^{-}=S-\mu\end{equation}

\begin{equation}(S-D)^{+}\end{equation} 是一个凸函数。

对于正态分布，

\begin{equation}I^{+}=\sigma\int_{0}^{\frac{S-\mu}{\sigma}} (\frac{S-\mu}{\sigma}-t)\phi (t)dt\end{equation}

其中， I^{-}<=0, 一阶导数的一些结论：

\begin{equation}\big[I^{+}\big]'=\int_{0}^{S}f(x)dx=F(S)\\ ~~~~~\big[I^{-}\big]'=-\int_{S}^{\infty}f(x)dx=F(S)-1\\~~~~~\big[\min\{S, D\}\big]'=1-F(S)\end{equation}

报童模型的订货点

\begin{equation}\Phi(S)=\frac{p-c+\pi}{p+h+\pi}\quad or\quad \frac{p-c+\pi}{p-v+\pi}\end{equation}

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