高等数学问题的符号解

1.求极限

2.求导数

3.级数的求和

4.泰勒公式

5.定积分和不定积分

6.求解代数方程（方程组）的符号解

利用python中的Sympy库主要处理三种类型的数据：整型数，实数和有理数（分子的分母）

1.求极限

$limit(six(x)/x,x,0)$

$\lim_{x\rightarrow oo}(1+1/x)^{x}$

limit(expression, variable, value)

expression :将要执行极限操作的数学表达式，即。
variable :它是数学表达式中的变量.
value :它是极限趋向于的值.

# 1.求极限
x = symbols('x')
print(limit(sin(x) / x, x, 0))
print(limit(pow(1 + 1 / x, x), x, oo))

2.求导数

已知 $z=sinx+x^{2}e^{y}$ ,求 $\frac{\partial z^2 }{\partial x^2}$ , $\frac{\partial z }{\partial y}$

diff(f, *symbols, **kwargs)

f:关于symblols（变量）的函数

*symbols:计算关于谁的导数

**kwargs:传入所需要求的几阶导数，默认值为1阶

# 2.求导数x, y = symbols('x y')  # 变量的值用空格隔开
z = sin(x) + x ** 2 * exp(y)
print("关于x的二阶偏导数为：", diff(z, x, 2))
print("关于y的一阶偏导数为：", diff(z, y))

3.级数的求和

验证 $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , $\sum_{k=1}^{oo}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$

summation(f, *symbols, **kwargs):

f:传入函数

对级数求从k=1到n的和

factor(f, *gens, deep=False, **args)

将和式化为积式

# 3.级数求和
k, n = symbols('k n')
print(summation(k ** 2, (k, 1, n)))
print(factor(summation(k ** 2, (k, 1, n))))
print(summation(1 / k ** 2, (k, 1, oo)))

4.泰勒公式

写出sinx在0点处的3，5，7，阶展开式，并在同一图形界面上出现sinx及它的上述各阶泰勒展开式在区间[0，2]上的图形

# 4.泰勒展开式
from pylab import rc
from sympy import *
from sympy.plotting import *rc('font', size=16)
rc('text', usetex=True)
x = symbols('x')
y = sin(x)
for k in range(3, 8, 2): print(y.series(x, 0, k))  # 等价于print(series(y,x,0,k))
plot(y，series(y, x, 0, 3).removeO(), series(y, x, 0, 5).removeO(),series(y, x, 0, 7).removeO(), (x, 0, 2), xlabel='$x$', ylabel='$y')

5.定积分和不定积分

$\int_{0}^{\pi }sin(2\pi )dx=0, \int_{0}^{+oo}\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

# 不定积分和定积分
from sympy import integrate, symbols, sin, pi, ooprint(integrate(sin(2 * x), (x, 0, pi)))
print(integrate(sin(x) / x, (x, 0, oo)))

6.求解代数方程（方程组）的符号解

$x^{3}=1,(x-2)^{2}(x-1)^{3}=0$

$\left \{ x^{2}+y^{2}=1 x-y=0$

求函数f(x)=2x**3-2x**2+x的驻点，并求函数在[0,1]上的最大值

# 求如下代数方程
from sympy import *x, y = symbols("x y")
print(solve(x ** 3 - 1, x))
print(solve((x - 2) ** 2 * (x - 1) ** 3, x))
print(roots((x - 2) ** 2 * (x - 1) ** 3, x))  # 得到根的重数信息

# 求解如下方程组
from sympy.abc import x, y
from sympy import solves = solve([x ** 2 + y ** 2 - 1, x - y], [x, y])
print("方程组的解为：", s)

# 求函数的驻点并求最大值
from sympy import *# 一阶导数为零的点
x = symbols("x");
y = 2 * x ** 3 - 5 * x ** 2 + x
x0 = solve(diff(y, x), x)
print("驻点的精确解为：", x0)
print("驻点的浮点数表示为：", [x0[i].n() for i in range(len(x0))])  # 列表中的符号数无法整体转换为浮点数
y0 = [y.subs(x, 0), y.subs(x, 1), y.subs(x, x0[0]).n()]  # 带入区间断端点的一个驻点的值
print("三个点的函数值分别为：", y0)

${y}''-5{y}'+6y=0,{y}''-5{y}'+6y=xe^{2x}$

# 求微分方程的符号解x = symbols("x");
y = symbols("y", cls=Function)
eq1 = diff(y(x), x, 2) - 5 * diff(y(x), x) + 6 * y(x)
eq2 = diff(y(x), x, 2) - 5 * diff(y(x), x) + 6 * y(x) - x * exp(2 * x)
print("齐次方程的解为：", dsolve(eq1, y(x)))
print("非齐次方程的解为：", dsolve(eq2, y(x)))

初值问题： ${y}''-5{y}'+6y=0,y(0)=1,{y}'(0)=0$

初值问题： ${y}''-5{y}'+6y=xe^{2x},y(0)=1,y(2)=0$

# 求解下列微分方程的解
x = symbols("x");y = symbols("y", cls=Function)
eq1 = diff(y(x), x, 2) - 5 * diff(y(x), x) + 6 * y(x)
eq2 = diff(y(x), x, 2) - 5 * diff(y(x), x) + 6 * y(x) - x * exp(2 * x)
print("初值问题的解为：{}".format(dsolve(eq1, y(x), ics={y(0): 1, diff(y(x), x).subs(x, 0): 0})))
y2=dsolve(eq2,y(x),ics={y(0):0,y(2):0})
print("边值问题的解为：{}".format(y2))