matlab求xk符号解,Matlab学习手抄（6）——非线性方程的数值解法

1. 二分法

定理:

函数f(x)在区间[a,b]上连续,如果f(a)*f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]内至少有一个实根x'.

[a,b]对半平分为两个小区间,判断f改变正负号的子区间,重复,直到最后确定的子区间长度比所希望饿绝对误差限要小.

那么在此区间中任意值均可作为方程的近似值.

优点: 思想方法简单,易于理解和掌握.

缺点: 求出数值解所需步骤较多,速度较慢.

2.迭代法

将f(x)=0化为一个等价的方程x=g(x),进一步得到迭代格式 xk+1=g(xk)

对给定初值x0,迭代计算x1,x2,……,迭代序列{xk}收敛于x',则x'就是f(x)=0的解

实际计算中,迭代到有限次,取xk+1坐位原方程的近似根.

3.牛顿法

设x'是f(x)=0的解,看做y=f(x)与x轴的交点,在x'的某邻域内,由f(x)在x'处的切线代替曲线f(x).

y=f(xk)+f'(xk)(x-xk)

令其为0得 x=xk-f(xk)/f'(xk)

于是得到牛顿迭代法的迭代公式 xk+1=xk-f(xk)/f'(xk)

优点:具有较高的收敛速度,可以用来求重根和复根

缺点:对初始值x0的选择要求较高,且要计算f'(xk)

4.双点弦截法

克服牛顿法的缺点,用f(xk)-f(xk-1)/xk-xk-1来代替f'(xk)

于是得到双点弦截法的迭代公式:

xk+1=xk-(f(xk)/(f(xk)-f(xk-1)))(xk-xk-1)

需要两个初值x0和x1,往往分别是求解区间的断点,即x0=a,x1=b.

5.Matlab的有关命令

(1)符号变量和运算

syms x

(2)f命令求函数在x0处的函数值

s=f(F,[x1,…,xn])

F是函数名,可以是Matlab的内部函数,也可以是M函数文件如@sin

@myfun

(3)fplot命令绘制一元函数图像

fplot(F,lims)

F为函数名,lims为自变量的范围

如在[0.01,0.1]上绘制y=sin(1/x) fplot(@(x) sin(1./x),[0.01,0.1])

用图形估计非线性方程的解有时是很必要的

(4)roots命令求多项式的根

roots(C), C为表示多项式的向量(即系数表示)

注:用roots命令求重根的效果不好

(5)fzero命令求f(x)=0在x0附近的根

X=fzero(F,x0)

注:fzero是用局部收敛的方法求解 roots是用全局收敛的方法求代数方程的解

(6)solve命令求解多元代数方程

solve('eqn1','eqn2',…,'eqnN') 输出为符号

对求重根的效果非常好

(7)fsolve命令求解一般的非线性方程或方程组

x=fsolve(F,x0) 输出为数值

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