【算法笔记+SGU275+HDU3949】线性基（XOR，求n个数异或得到的第k小的数）

网上大佬写的博客。。。我以为自己看懂了（假装看懂）。。。结果第二题就被卡住了。。。看不懂了。。

https://blog.sengxian.com/algorithms/linear-basis

https://www.cnblogs.com/vb4896/p/6149022.html

是我水平不够，看起来有点费劲(;´༎ຶД༎ຶ`)智商堪忧

还是视频看起来轻松很多：青涩的讲解，但是能听懂，给up主点赞！

目前的理解：线性基就是通过异或构建行阶梯矩阵，找到最大线性无关的向量组，去解决有关XOR的一些问题

数x对应的二进制为： $\left (b_n...b_2b_1b_0\right )_2$ bj=0或者1，用p[]存下面矩阵中的数

所谓线性基，就是线性代数里面的概念。一组线性无关的向量便可以作为一组基底，张起一个线性的向量空间，这个基地又称之为线性基。

第一个例子：

$a[4]=\left\{7,2,3,4\right\}$ ，插入的时候从高位向低位看起

--->插入a[0]=7=0111:a[0]的 $b_2$ =0，p[2]=a[0]

矩阵：

$\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&1&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$

--->插入a[1]=2=0010：a[1]的 $b_1$ =1，p[1]=a[1]， $b_1$ 后面的位k，若 $b_k=1$ ,那么p[1]^=p[k]（p[k]的 $b_k=1$ ），消掉p[1]中 $b_1$ 后的1，让p[1]中只有 $b_1$ =1；同理，p[1]上面的行j，如果p[j]中的 $b_1$ =1，那么p[j]^=p[1]，消掉p[j]中 $b_1$ 位上的1，保证p[j]中只有 $b_j=1$

矩阵：

$\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$

--->插入a[2]=3=0011，从高位向低位看起，因为 $b_1$ =1的位置已经存入数a[1]了，所以为了保证我们要构建的是行阶梯矩阵，a[2]^=p[1]，新的a[2]=0001，其中 $b_0=1$ ，p[0]=a[2]，和插入a[1]时相同的做法，用下面的行消去自己，用自己消去上面的行中不应该为1的1:

矩阵：

$\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

--->插入a[3]=4=0100， $b_2=1$ ，但是p[2]已经存入数了，a[3]^=p[2]=0，无法插入

至此，线性基对应的行阶梯矩阵已经构建完了，此外，通过构建过程可以知道最终的矩阵可以转化为如下内容：

$\begin{bmatrix} 0\\ a[0]\oplus\ a[1] \oplus\ a[2]\\ a[1]\\ a[1] \oplus\ a[2] \end{bmatrix}$

p[2]、p[1]、p[0]都不为0，所以线性基的大小为num=3，a[4]中n=4，num<n

p[2]、p[1]、p[0]对应的向量是一个最大线性无关的向量组，因为num<n所以a[]中的数可以通过异或得到0，这点可以通过插入a[3]时出现0得到验证。当num=n时，这n个向量组成最大线性无关的向量组，根据线性无关的定义可以知道只有这些向量前面的系数都为0时才可以得到0。

注意：这里的p[2]、p[1]、p[0]进行异或相当于其对应的向量进行加法运算(二进制加法，没有进位)。

用新的数组L（或者一个vector<>）存不为0的p[i]，若求a[4]所能构成的异或的数中的第k小，k= $\left (b_n...b_2b_1b_0\right )_2$ ，新的矩阵有如下对应关系：

$\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} b_2\\ b_1\\ b_0 \end{bmatrix}$

若求第k=1小，因为num!=n，所以可以异或出0，那么可异或出第1小的数就是0

若求第k=4小，因为num!=n，所以可以异或出0，所以k=k-1=3=0011， $b_0=1,b_1=1$ ,那么可异或出第1小的数就是L[0]^L[1]等价于 $a[2] \oplus\ a[3] \oplus\ a[2] = a[3]$

第二个例子：

$a[3]=\left\{9,11,5\right\}$

--->插入a[0]=9=1001，p[3]=a[3]

矩阵：

$\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$

--->插入a[1]=11=1011，p[3]已经有数了，a[1]^=p[3]=0010，p[1]=a[1]，用下面的行消自己，用自己消下面的行(但都莫得消)

矩阵：

$\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$

--->插入a[2]=5=0101，p[2]=a[2]，用下面的行消自己，用自己消下面的行(但都莫得消)

矩阵：

$\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$

最终的矩阵相当于：其中线性基的大小num=3，n=3

$\begin{bmatrix} a[0]\\ a[2]\\ a[0] \oplus\ a[1]\\ 0 \end{bmatrix}$

用新的数组L存不为0的p[i],求a[3]能异或成的第k小，k= $\left (b_n...b_2b_1b_0\right )_2$ ：，对应关系如下：

$\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} b_2\\ b_1\\ b_0 \end{bmatrix}$

因为线性基大小num=n,所以不能异或出0

若k=1=0001， $b_0=1$ ，所以第1小的数就是L[0]

若k=5=1001， $b_0=1,b_3=1$ ，所以第5小的数就是L[0]^L[3]

综上所述：

$\triangleright$ 构建行阶梯矩阵时，若a[i]= $\left (b_n...b_2b_1b_0\right )_2$ ，从高位往地位第一个为1的位是j，若p[j]已经存入数了，那么a[i]^=p[j]，否则直接p[j]=a[i]

$\triangleright$ 在p[j]插入a[i]后，让p[j]下面的行消去p[j]中j位后面的1，让p[j]消去p[j]上面的行中j位上的1，目的是为了尽量使p[j]中只有j位是1

$\triangleright$ 若n个数构成的线性基的大小num=n，则对应的行阶梯矩阵的秩=n，这n个向量线性无关，那么这个n个数不能通过异或得到0，否则可以得到0

$\triangleright$ 在求n个数通过异或构成的第k小的数时，用新的数组L（或者 vector<>）存那些不为0的p[i]

$\triangleright$ $\triangleright$ num==n，不能得到0，第k小的数就是k的二进制位上为1的位所对应的L[]值，比如K=1001,那么结果就是L[0]^L[3]

$\triangleright$ $\triangleright$ num!=n，不能得到0，k=k-1,结果就是k的二进制位上为1的位所对应的L[]值

$\triangleright$ $\triangleright$ num==n时，这个n个数最多能构成 $2^n$ -1个不同的数；否则可以构成 $2^n$ 个不同的数

$\triangleright$ L[i]^L[j]或者p[i]^p[j] 其实就是a[]上的一些数在异或，只不过目前我们不关心是哪些数在异或（当然也可以通过记录得知），我们只在意能异或成的数的大小

$\triangleright$ 求n个数能构成的最大值，就直接把L[]中的值都异或起来就OK啦！

终于写完原理了٩(˃̶͈̀௰˂̶͈́)و总算是懂了线性基了☆〜（ゝ。∂）

一般1≤a[i]≤1e18，最多60位，所以max_base设成60，p[max_base+3]，max_base别设置太大了，可能结果会错，我试过(´･Д･)」，就60吧！

模版：

hdoj3949

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e4+5;
const int max_base=60;
ll t,n,q,x;
ll a[maxn],p[maxn+3];
vector<ll> v;
void solve()
{v.clear();//清空啊啊啊！！！memset(p,0,sizeof(p));//初始化啊啊啊！！！for(int i=0;i<n;i++){for(int j=max_base;j>=0;j--)//从高位向低位{if(a[i]>>j==0) continue;//该位上为0，对线性基这位没有有贡献if(!p[j])//该行没数，直接填入{p[j]=a[i];for(int k=j-1;k>=0;k--)if(p[k] && p[j]>>k&1)p[j]^=p[k];//下面的行消自己for(int k=j+1;k<=max_base;k++)if(p[k]>>j&1)p[k]^=p[j];//自己消上面的行break;//填入之后结束每一位上的遍历}elsea[i]^=p[j];//该行已经有数}}for(int i=0;i<=max_base;i++)if(p[i])v.push_back(p[i]);}
ll query(ll x)
{if(v.size()!=n) x--;if(x==0) return 0;//能得到0，第1小的数是0if(x>=(1LL<<v.size())) return -1;//能得到0，x已经-1了，x最多达到2^v.size()-1;不能得到0，x最多就是v.size()-1ll ans=0;for(int i=0;i<=max_base;i++)if(x>>i&1)ans^=v[i];return ans;
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt", "r", stdin);scanf("%lld",&t);for(int i=1;i<=t;i++){printf("Case #%d:\n",i);scanf("%lld",&n);for(int j=0;j<n;j++)scanf("%lld",&a[j]);solve();scanf("%lld",&q);for(int j=0;j<q;j++){scanf("%lld",&x);printf("%lld\n",query(x));}}return 0;
}

SGU275:但是好像没法补题，求n个数异或得到的最大值,直接把非0的p[i]异或起来就完事了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e4+5;
const int max_base=60;
ll n;
ll a[maxn],p[maxn+3];
void solve()
{for(int i=0;i<n;i++){for(int j=max_base;j>=0;j--)//从高位向低位{if(a[i]>>j==0) continue;//该位上为0，对线性基这位没有有贡献if(!p[j])//该行没数，直接填入{p[j]=a[i];for(int k=j-1;k>=0;k--)if(p[k] && p[j]>>k&1)p[j]^=p[k];//下面的行消自己for(int k=j+1;k<=max_base;k++)if(p[k]>>j&1)p[k]^=p[j];//自己消上面的行break;//填入之后结束每一位上的遍历}elsea[i]^=p[j];//该行已经有数}}
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt", "r", stdin);ll ans=0;scanf("%lld",&n);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);solve();for(int i=0;i<=max_base;i++)if(p[i])ans^=p[i];printf("%lld\n",ans);return 0;
}