这个系列是在随机过程学习笔记之后的，本来想直接看随机微分方程的，但发现很多概念不了解，就先去看了随机过程的资料。

文章目录

一维Ito积分
- 在L2L^2L2上构造
- - 简单过程的Ito积分
  - VVV中一般过程的Ito积分
  - 平方协方差
- Ito积分的性质
Ito积分的扩展
多维Ito积分

前情提要： Ω={所有ω}\Omega=\{所有\omega\}Ω={所有ω}， ω(t)∈P\omega(t)\in\mathbb{P}ω(t)∈P， t∈It\in It∈I，随机过程比如 X:(t,ω)↦X(t,ω)∈RX:(t,\omega)\mapsto X(t,\omega)\in\RX:(t,ω)↦X(t,ω)∈R，随机变量 P→R\mathbb{P}\to\mathbb{R}P→R。

一维Ito积分

在L2L^2L2上构造

设(Ft)t≥0(\mathscr{F}_t)_{t\ge 0}(Ft)t≥0是一个完备概率空间(Ω,F,P)(\Omega,\mathscr{F},P)(Ω,F,P)上的滤子(filtration)，即一个满足

Fs⊂Ft⊂F,(s≤t\mathscr{F}_s\subset\mathscr{F}_t\subset\mathscr{F}, (s\le tFs⊂Ft⊂F,(s≤t)；
Fs=∩t>sFt,(s≥0)\mathscr{F}_s=\cap_{t>s}\mathscr{F}_t,(s\ge 0)Fs=∩t>sFt,(s≥0)【右正则性】；
∀A∈F\forall A\in \mathscr{F}∀A∈F满足P(A)=0P(A)=0P(A)=0，有A∈F0A\in\mathscr{F}_0A∈F0；

的网。

(Xt,t≥0)(X_t,t\ge 0)(Xt,t≥0)是一族(Ω,F,P)(\Omega,\mathscr{F},P)(Ω,F,P)上的Rd\mathbb{R}^dRd随机变量。
若满足所有X(t)X(t)X(t)是Fs\mathscr{F}_sFs可测的，则称(X(t),t≥0)(X(t),t\ge 0)(X(t),t≥0)是(Fs)(F_s)(Fs)-适合的((Ft)(\mathscr{F}_t)(Ft)-adapted)。
若满足(t,ω)↦X(t,ω)(t,\omega)\mapsto X(t,\omega)(t,ω)↦X(t,ω)是B⨂F\mathscr{B}\bigotimes\mathscr{F}B⨂F可测的，则称过程XXX是可测的(measurable)。
若满足∀ω\forall \omega∀ω，轨迹t↦X(t,ω)t\mapsto X(t,\omega)t↦X(t,ω)是连续的（B\mathscr{B}B是R\RR上的Borel），则称(X(t),t≥0)(X(t),t\ge 0)(X(t),t≥0)是连续的(continuous)。

已经有结论，若一个过程是（右）连续的，则它是可测的。

设(W(t),t≥0)(W(t),t\ge 0)(W(t),t≥0)是一个连续的(Ft)(\mathscr{F}_t)(Ft)-合适的实值过程，若满足

W(0)=0W(0)=0W(0)=0。
对任意sss，0≤s≤t0\le s\le t0≤s≤t：W(t)−W(s)W(t)-W(s)W(t)−W(s)与Fs\mathscr{F}_sFs独立。
对任意sss，0≤s≤t0\le s\le t0≤s≤t：W(t)−W(s)∼N(0,t−s)W(t)-W(s)\sim\mathscr{N}(0,t-s)W(t)−W(s)∼N(0,t−s)。

则称WWW是一维标准布朗运动(standard one-dementional Brownian motion)。

V:={Y:Y为实值随机过程，Ft−适合，可测，且满足∥Y∥V:=(∫0∞E[Y(t)2]dt})12<∞}V:=\{Y:Y为实值随机过程，\mathscr{F}_t-适合，可测，且满足\|Y\|_{V}:=\left(\int_{0}^{\infty}\mathbb{E}\left[Y(t)^2\right]\mathrm{d}t\}\right)^{\frac{1}{2}}<\infty\}V:={Y:Y为实值随机过程，Ft−适合，可测，且满足∥Y∥V:=(∫0∞E[Y(t)2]dt})21<∞}若Y∈VY\in VY∈V且Y(t,ω)=∑i=0∞ηi(ω)1[ti,ti+1)(t),Y(t,\omega)=\sum_{i=0}^{\infty}\eta_{i}(\omega)\mathrm{1}_{[t_i,t_{i+1})}(t),Y(t,ω)=i=0∑∞ηi(ω)1[ti,ti+1)(t),其中(ti)t≥0(t_i)_{t\ge 0}(ti)t≥0是单增序列，ηi\eta_iηi是Fti\mathscr{F}_{t_i}Fti-可测的随机变量，则称YYY是简单的(simple)。

简单过程的Ito积分

对于简单过程Y∈VY\in VY∈V可以自然地定义∫0∞Y(t)dW(t):=∑i=0∞ηi(W(tt+1)−W(ti)).\int_{0}^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t):=\sum_{i=0}^{\infty}\eta_i(W(t_{t+1})-W(t_{i})).∫0∞Y(t)dW(t):=i=0∑∞ηi(W(tt+1)−W(ti)).等式右边这个级数在L2(P)L^2(\mathbb{P})L2(P)上收敛，这说明等式左边在P\mathbb{P}P这个测度下是几乎处处良定义的。

证明等式右边收敛：
证：令Sk:=∑i=0kηi(W(tt+1)−W(ti))S_k:=\sum_{i=0}^{k}\eta_i(W(t_{t+1})-W(t_{i}))Sk:=∑i=0kηi(W(tt+1)−W(ti))，E[(Sl−Sk)2]=E[(∑i=k+1lηi(W(tt+1)−W(ti)))2]=∑i=k+1lE[ηi2(W(ti+1)−W(ti))2]+2∑k+1≤i<j≤lE[ηiηj(W(ti+1)−W(ti))(W(tj+1)−W(tj))]=∑i=k+1lE[ηi2](ti+1−ti)=∫tk+1tl+1E[Y(t)2]dt→0(k,l→∞)\begin{aligned} \mathbb{E}\left[(S_l-S_k)^2\right]=&\mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=k+1}^{l}\eta_i(W(t_{t+1})-W(t_{i}))\right)^2\right]\\ =&\sum_{i=k+1}^{l}\mathbb{E}\left[\eta_i^2(W(t_{i+1})-W(t_i))^2\right]\\ &+2\sum_{k+1\le i<j\le l}\mathbb{E}\left[\eta_i\eta_j(W(t_{i+1})-W(t_i))(W(t_{j+1})-W(t_j))\right]\\ =&\sum_{i=k+1}^{l}\mathbb{E}\left[\eta_i^2\right](t_{i+1}-t_i)\\ =&\int_{t_{k+1}}^{t_{l+1}}\mathbb{E}\left[Y(t)^2\right]\mathrm{d}t\to 0\quad(k,l\to \infty) \end{aligned}E[(Sl−Sk)2]====E⎣⎡(i=k+1∑lηi(W(tt+1)−W(ti)))2⎦⎤i=k+1∑lE[ηi2(W(ti+1)−W(ti))2]+2k+1≤i<j≤l∑E[ηiηj(W(ti+1)−W(ti))(W(tj+1)−W(tj))]i=k+1∑lE[ηi2](ti+1−ti)∫tk+1tl+1E[Y(t)2]dt→0(k,l→∞)所以(Sk)(S_k)(Sk)是L2(P)L^2(\mathbb{P})L2(P)上的柯西列，所以等式右边收敛。□.\Box.□.
证明等距E[(∫0∞Y(t)dW(t))2]=∥Y∥V2.\mathbb{E}\left[\left(\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)\right)^2\right]=\|Y\|_V^2.E[(∫0∞Y(t)dW(t))2]=∥Y∥V2.
【理解这个等距：

Ito积分

v中简单过程

随机变量

VVV中的范数是∥⋅∥V\|\cdot\|_{V}∥⋅∥V，随机变量看作是L2(P)L^2(\mathbb{P})L2(P)中的函数，则其的范数是(E[⋅2])12\left(\mathbb{E}\left[\cdot^2\right]\right)^{\frac{1}{2}}(E[⋅2])21。在简单过程这个自变量的区域中Ito积分是个等距映射。】
证：已经证明了(Sk)(S_k)(Sk)是柯西列，所以E[(∫0∞Y(t)dW(t))2]=lim⁡k→∞E[Sk2]=lim⁡k→∞∫0k+1E[Y(t)2]dt=∥Y∥V2.\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)\right)^2\right]&=\lim_{k\to\infty}\mathbb{E}\left[S_k^2\right]\\ &=\lim_{k\to \infty}\int_{0}^{k+1}\mathbb{E}[Y(t)^2]\mathrm{d}t\\ &=\|Y\|_V^2. \end{aligned}E[(∫0∞Y(t)dW(t))2]=k→∞limE[Sk2]=k→∞lim∫0k+1E[Y(t)2]dt=∥Y∥V2. □.\Box.□.

VVV中一般过程的Ito积分

推论：∀Y∈V\forall Y\in V∀Y∈V，存在一列简单过程(Yn)n≥1(Y_n)_{n\ge 1}(Yn)n≥1，Yn∈VY_n\in VYn∈V使得lim⁡n→∞∥Y−Yn∥V=0\lim_{n\to \infty}\|Y-Y_n\|_{V}=0limn→∞∥Y−Yn∥V=0。
证：【这个证明和很多实变函数的问题的证明相似，久了不练都不熟悉这种套路了。简单 --> 连续+有限 --> 有限 --> 一般】

第一步：用简单过程逼近连续的时域有限事件域有界的过程【这个名字自己取的，可以想象一个过程的定义域有“两个维度”：时间和事件，现在在这两个维度上都做一定的限制，并加上了过程连续的要求】。
设YYY是连续的，当t≤Tt\le Tt≤T时，∣Y(t)∣<K|Y(t)|<K∣Y(t)∣<K，当t≥Tt\ge Tt≥T时，Y(t)=0Y(t)=0Y(t)=0；设tin=int_i^{n}=\frac{i}{n}tin=ni，定义Yn(t):=∑i=0Tn−1Y(tin)1[tin,ti+1n)(t).Y_n(t):=\sum_{i=0}^{T_n-1}Y(t_i^{n})\mathrm{1}_{[t_i^{n},t_{i+1}^{n})}(t).Yn(t):=i=0∑Tn−1Y(tin)1[tin,ti+1n)(t).则由于YYY连续，YnY_nYn点态收敛到YYY，又因为Yn(t)≤K1[0,T](t)Y_n(t)\le K\mathrm{1}_{[0,T]}(t)Yn(t)≤K1[0,T](t)，所以由控制收敛定理可以得到∥Y−Yn∥V→0(n→∞)\|Y-Y_n\|_V\to0(n\to \infty)∥Y−Yn∥V→0(n→∞)。

第二步：用连续的时域有限事件域有界的过程逼近一般的时域有限事件域有界的过程。
设当t≤Tt\le Tt≤T时，∣Y(t)∣<K|Y(t)|<K∣Y(t)∣<K，当t≥Tt\ge Tt≥T时，Y(t)=0Y(t)=0Y(t)=0。设h:[0,∞)→[0,∞)h:[0,\infty)\to [0,\infty)h:[0,∞)→[0,∞)是个连续函数且当t≥1t\ge 1t≥1时，h(t)=0h(t)=0h(t)=0，∫h=1\int h=1∫h=1。令Yn(t):=∫0tY(s)nh(n(t−s))ds=∫nt0Y(t−zn)nh(z)d(−zn)=∫0min⁡{1,nt}Y(t−zn)h(z)dz\begin{aligned} Y_n(t)&:=\int_{0}^{t}Y(s)nh(n(t-s))\mathrm{d}s\\ &=\int_{nt}^{0}Y(t-\frac{z}{n})nh(z)\mathrm{d}(-\frac{z}{n})\\ &=\int_0^{\min\{1,nt\}}Y(t-\frac{z}{n})h(z)\mathrm{d}z \end{aligned}Yn(t):=∫0tY(s)nh(n(t−s))ds=∫nt0Y(t−nz)nh(z)d(−nz)=∫0min{1,nt}Y(t−nz)h(z)dz由于∣Y(t−zn)h(z)∣≤Kh(z)|Y(t-\frac{z}{n})h(z)|\le Kh(z)∣Y(t−nz)h(z)∣≤Kh(z)所以lim⁡n→∞Yn(t)=∫01lim⁡n→∞Y(t−zn)h(z)dz=Y(t)\lim_{n\to\infty}Y_n(t)=\int_0^{1}\lim_{n\to\infty}Y(t-\frac{z}{n})h(z)\mathrm{d}z=Y(t)n→∞limYn(t)=∫01n→∞limY(t−nz)h(z)dz=Y(t)所以YnY_nYn点态收敛到YYY，而且YnY_nYn是连续的。同样用控制收敛准则，得到∥Yn−Y∥V2→0(n→∞)\|Y_n-Y\|_V^2\to0(n\to \infty)∥Yn−Y∥V2→0(n→∞)。

第三步：用一般的时域有限事件域有界的过程逼近VVV中一般过程。这个显然了因为Y∈VY\in VY∈V，那么Yn(t)={Y(t)t≤n,∣Y(t)∣≤n;Y(t)∣Y(t)∣nt≤n,∣Y(t)∣>n;0t>n.Y_{n}(t)=\begin{cases} Y(t) & t\le n,|Y(t)|\le n;\\ \frac{Y(t)}{|Y(t)|}n & t\le n,|Y(t)|> n;\\ 0 & t>n. \end{cases}Yn(t)=⎩⎪⎨⎪⎧Y(t)∣Y(t)∣Y(t)n0t≤n,∣Y(t)∣≤n;t≤n,∣Y(t)∣>n;t>n.能满足∥Yn−Y∥V2→0(n→∞)\|Y_n-Y\|_V^2\to 0(n\to \infty)∥Yn−Y∥V2→0(n→∞) □.\Box.□.

根据前面的推论我们可以知道∀Y∈V\forall Y\in V∀Y∈V能找到一列简单过程(Yn)(Y_n)(Yn)满足∥Yn−Y∥V→0\|Y_n-Y\|_V\to0∥Yn−Y∥V→0，故定义Ito积分∫0∞Y(t)dW(t):=lim⁡n→∞∫0∞Yn(t)dW(t)\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t):=\lim_{n\to\infty}\int_0^{\infty}Y_n(t)\mathrm{d}W(t)∫0∞Y(t)dW(t):=n→∞lim∫0∞Yn(t)dW(t)这里的极限是在L2(P)L^2(\mathbb{P})L2(P)意义下的。对于0≤A≤B0\le A\le B0≤A≤B，∫ABY(t)dW(t)=∫0∞Y(t)1[A,B](t)dW(t).\int_{A}^{B}Y(t)\mathrm{d}W(t)=\int_{0}^{\infty}Y(t)\mathrm{1}_{[A,B]}(t)\mathrm{d}W(t).∫ABY(t)dW(t)=∫0∞Y(t)1[A,B](t)dW(t).

平方协方差

f,g:R+→Rf,g:\R^+\to\Rf,g:R+→R，Π\PiΠ是一个划分(ti)(t_i)(ti)，t0=0t_0=0t0=0，ti↑∞t_i\uarr\inftyti↑∞，∣Π∣=max⁡i(ti+1−ti)|\Pi|=\max_i(t_{i+1}-t_i)∣Π∣=maxi(ti+1−ti)，若 ∀t≥0\forall t\ge 0∀t≥0，极限lim⁡∣Π∣→0∑ti∈Π(f(ti+1∧t)−f(ti∧t))(g(ti+1∧t)−g(ti∧t))\lim_{|\Pi|\to 0}\sum_{t_i\in \Pi}\left(f(t_{i+1}\wedge t)-f(t_i\wedge t)\right)\left(g(t_{i+1}\wedge t)-g(t_i\wedge t)\right)∣Π∣→0limti∈Π∑(f(ti+1∧t)−f(ti∧t))(g(ti+1∧t)−g(ti∧t))都存在，称此极限为f,gf,gf,g的平方协方差，记为<f,g>t\left<f,g\right>_t⟨f,g⟩t。<f>t=<f,f>t\left<f\right>_t=\left<f,f\right>_t⟨f⟩t=⟨f,f⟩t，为fff的平方方差。

设WWW为一维标准布朗运动，计算<W>t\left<W\right>_t⟨W⟩t。
E[(∑ti∈Π(W(ti+1∧t)−W(ti∧t))2−t)2]=E[(∑ti∈Π(W(ti+1∧t)−W(ti∧t))2−((ti+1∧t)−(ti∧t)))2]=∑ti∈ΠE[((W(ti+1∧t)−W(ti∧t))2−((ti+1∧t)−(ti∧t)))2]=∑ti∈Π2((ti+1∧t)−(ti∧t))2【这里有用到正态分布四阶矩的结论】≤2∣Π∣t→0(∣Π∣→0).\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{t_i\in\Pi}(W(t_{i+1}\wedge t)-W(t_i\wedge t))^2-t\right)^2\right]&=\mathbb{E}\left[\left(\sum_{t_i\in\Pi}(W(t_{i+1}\wedge t)-W(t_i\wedge t))^2-((t_{i+1}\wedge t)-(t_{i}\wedge t))\right)^2\right]\\ &=\sum_{t_i\in\Pi}\mathbb{E}\left[\left((W(t_{i+1}\wedge t)-W(t_i\wedge t))^2-((t_{i+1}\wedge t)-(t_{i}\wedge t))\right)^2\right]\\ &=\sum_{t_i\in\Pi}2((t_{i+1}\wedge t)-(t_{i}\wedge t))^2【这里有用到正态分布四阶矩的结论】\\ &\le 2|\Pi|t\\ &\to 0\quad (|\Pi|\to 0). \end{aligned}E⎣⎡(ti∈Π∑(W(ti+1∧t)−W(ti∧t))2−t)2⎦⎤=E⎣⎡(ti∈Π∑(W(ti+1∧t)−W(ti∧t))2−((ti+1∧t)−(ti∧t)))2⎦⎤=ti∈Π∑E[((W(ti+1∧t)−W(ti∧t))2−((ti+1∧t)−(ti∧t)))2]=ti∈Π∑2((ti+1∧t)−(ti∧t))2【这里有用到正态分布四阶矩的结论】≤2∣Π∣t→0(∣Π∣→0).所以在L2(P)L^2(\mathbb{P})L2(P)的意义下<W>t=t\left<W\right>_t=t⟨W⟩t=t。

下面考虑一个∫0TW(t)dW(t)\int_0^{T}W(t)\mathrm{d}W(t)∫0TW(t)dW(t)。设X(n)=∑k=0n−1W(kTn)1[kTn,(k+1)Tn)X^(n)=\sum_{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})\mathrm{1}_{[\frac{kT}{n},\frac{(k+1)T}{n})}X(n)=∑k=0n−1W(nkT)1[nkT,n(k+1)T) ∫0TXn(t)dW(t)=∑k=0n−1W(kTn)(W((k+1)Tn)−W(kTn))=12∑k=0n−1W(kTn)(W((k+1)Tn)−W(kTn))+12∑k=0n−1W(kTn)(W((k+1)Tn)−W(kTn))=12∑k=0n−1(W(kTn)+W((k+1)Tn))(W((k+1)Tn)−W(kTn))−12∑k=0n−1(W((k+1)Tn)−W(kTn))2=12W(T)2−12∑k=0n−1(W((k+1)Tn)−W(kTn))2\begin{aligned} \int_0^{T}X^n(t)\mathrm{d}W(t)&=\sum_{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(W(\frac{kT}{n})+W(\frac{(k+1)T}{n}))(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))^2\\ &=\frac{1}{2}W(T)^2-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))^2 \end{aligned}∫0TXn(t)dW(t)=k=0∑n−1W(nkT)(W(n(k+1)T)−W(nkT))=21k=0∑n−1W(nkT)(W(n(k+1)T)−W(nkT))+21k=0∑n−1W(nkT)(W(n(k+1)T)−W(nkT))=21k=0∑n−1(W(nkT)+W(n(k+1)T))(W(n(k+1)T)−W(nkT))−21k=0∑n−1(W(n(k+1)T)−W(nkT))2=21W(T)2−21k=0∑n−1(W(n(k+1)T)−W(nkT))2 所以∫0TW(t)dW(t)=12W(T)2−12T.\int_{0}^{T}W(t)\mathrm{d}W(t)=\frac{1}{2}W(T)^2-\frac{1}{2}T.∫0TW(t)dW(t)=21W(T)2−21T.

Ito积分的性质

Ito等距(Ito isometry)：E[(∫0∞X(t)dW(t))2]=∥X∥V2\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{\infty}X(t)\mathrm{d}W(t)\right)^2\right]=\|X\|_V^2E[(∫0∞X(t)dW(t))2]=∥X∥V2；
E[∫0∞X(t)dW(t)∫0∞Y(t)dW(t)]=∫0∞E[X(t)Y(t)]dt\mathbb{E}\left[\int_{0}^{\infty}X(t)\mathrm{d}W(t)\int_{0}^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)\right]=\int_{0}^{\infty}\mathbb{E}[X(t)Y(t)]\mathrm{d}tE[∫0∞X(t)dW(t)∫0∞Y(t)dW(t)]=∫0∞E[X(t)Y(t)]dt；
∀0≤A≤B≤C\forall 0\le A\le B\le C∀0≤A≤B≤C，∫ACX(t)dW(t)=∫ABX(t)dW(t)+∫BCX(t)dW(t)\int_{A}^{C}X(t)\mathrm{d}W(t)=\int_{A}^{B}X(t)\mathrm{d}W(t)+\int_{B}^{C}X(t)\mathrm{d}W(t)∫ACX(t)dW(t)=∫ABX(t)dW(t)+∫BCX(t)dW(t)几乎处处成立；
∀c∈R\forall c\in \R∀c∈R，∫0∞(cX(t)+Y(t))dW(t)=c∫0∞X(t)dW(t)+∫0∞Y(t)dW(t)\int_{0}^{\infty}\left(cX(t)+Y(t)\right)\mathrm{d}W(t)=c\int_{0}^{\infty}X(t)\mathrm{d}W(t)+\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)∫0∞(cX(t)+Y(t))dW(t)=c∫0∞X(t)dW(t)+∫0∞Y(t)dW(t)几乎处处成立；
E[∫0∞X(t)dW(t)]=0\mathbb{E}\left[\int_0^{\infty}X(t)\mathrm{d}W(t)\right]=0E[∫0∞X(t)dW(t)]=0；
∫0tX(s)dW(s)\int_{0}^{t}X(s)\mathrm{d}W(s)∫0tX(s)dW(s)是Ft\mathscr{F}_tFt可测的；
(∫0tX(s)dW(s),t≥0)\left(\int_{0}^{t}X(s)\mathrm{d}W(s),t\ge 0\right)(∫0tX(s)dW(s),t≥0)是Ft\mathscr{F}_tFt鞅；
<∫0∙X(s)dW(s),∫0∙Y(s)dW(s)>t=∫0tX(t)Y(t)ds\left<\int_{0}^{\bullet}X(s)\mathrm{d}W(s),\int_{0}^{\bullet}Y(s)\mathrm{d}W(s)\right>_t=\int_{0}^{t}X(t)Y(t)\mathrm{d}s⟨∫0∙X(s)dW(s),∫0∙Y(s)dW(s)⟩t=∫0tX(t)Y(t)ds；
若XXX是有界变差的，X(t)W(t)=∫0tX(s)dW(s)+∫0tW(s)dX(s)X(t)W(t)=\int_{0}^{t}X(s)\mathrm{d}W(s)+\int_{0}^{t}W(s)\mathrm{d}X(s)X(t)W(t)=∫0tX(s)dW(s)+∫0tW(s)dX(s)几乎处处成立。

Ito积分的扩展

我们可以把Ito积分的定义扩展到更大的的范围里。定义V∗={(Y(t),t≥0):实值连续随机过程，适应的(adaptive)，可测的，且P(∫0∞Y(t)2dt<∞)=1}V^*=\{(Y(t),t \ge 0):实值连续随机过程，适应的(adaptive)，可测的，且\mathbb{P}\left(\int_0^{\infty}Y(t)^2\mathrm{d}t<\infty\right)=1\}V∗={(Y(t),t≥0):实值连续随机过程，适应的(adaptive)，可测的，且P(∫0∞Y(t)2dt<∞)=1}

定理：∀Y∈V∗,∀n∈N\forall Y\in V^*,\forall n \in \mathbb{N}∀Y∈V∗,∀n∈N定义停时τn(ω):=inf⁡{T≥0∣∫0TY(t,ω)2dt≥n}.\tau_n(\omega):=\inf\{T\ge 0\mid \int_0^{T}Y(t,\omega)^2\mathrm{d}t\ge n\}.τn(ω):=inf{T≥0∣∫0TY(t,ω)2dt≥n}.则lim⁡τn=∞\lim_{\tau_n}=\inftylimτn=∞是几乎处处成立的，且极限∫0∞Y(t)dW(t):=lim⁡n→∞∫0τnY(t)dW(t)\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t):=\lim_{n\to\infty}\int_0^{\tau_n}Y(t)\mathrm{d}W(t)∫0∞Y(t)dW(t):=n→∞lim∫0τnY(t)dW(t)在概率收敛意义下是存在的。更准确地说，在{ω∣∫0∞Y(t,ω)2dt<n}\{\omega\mid \int_0^{\infty}Y(t,\omega)^2\mathrm{d}t<n\}{ω∣∫0∞Y(t,ω)2dt<n}上几乎一定成立∫0∞Y(t)dW(t)=∫0τnY(t)dW(t).\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)=\int_0^{\tau_n}Y(t)\mathrm{d}W(t).∫0∞Y(t)dW(t)=∫0τnY(t)dW(t).

多维Ito积分

设一个Rm\mathbb{R}^mRm值的(Ft)(\mathscr{F}_t)(Ft)-适合随机过程W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wm(t))TW(t)=\left(W_1(t),W_2(t),\dots,W_m(t)\right)^TW(t)=(W1(t),W2(t),…,Wm(t))T满足∀i=1,…,m\forall i=1,\dots,m∀i=1,…,m，WiW_iWi是一个一维(Ft)(\mathscr{F}_t)(Ft)-布朗运动，且所有分量都是独立的，则称W(t)W(t)W(t)为mmm-维布朗运动。

设YYY是一个Rd×m\mathbb{R}^{d\times m}Rd×m值随机过程，每个分量Yij,1≤i≤d,1≤j≤mY_{ij},1\le i\le d,1\le j\le mYij,1≤i≤d,1≤j≤m都属于V∗V^*V∗，则对mmm-维布朗运动WWW的多维Ito积分∫YdW\int Y\mathrm{d}W∫YdW是一个Rd\mathbb{R}^dRd-值随机变量，其分量为(∫0∞Y(t)dW(t))i:=∑j=1m∫0∞Yij(t)dWj(t),1≤i≤d.\left(\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)\right)_i:=\sum_{j=1}^{m}\int_0^{\infty}Y_{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t),\quad 1\le i\le d.(∫0∞Y(t)dW(t))i:=j=1∑m∫0∞Yij(t)dWj(t),1≤i≤d.

推论：Ito等距扩展到多维的情况。设Rd×m\mathbb{R}^{d\times m}Rd×m值过程X,YX,YX,Y的分量都属于VVV，WWW是mmm-维布朗运动，则E[<∫0∞X(t)dW(t),∫0∞Y(t)dW(t)>]=∫0∞∑i=1d∑j=1mE[Xij(t)Yij(t)]dt.\mathbb{E}\left[\left<\int_0^{\infty}X(t)\mathrm{d}W(t),\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)\right>\right]=\int_0^{\infty}\sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{m}\mathbb{E}\left[X_{ij}(t)Y_{ij}(t)\right]\mathrm{d}t.E[⟨∫0∞X(t)dW(t),∫0∞Y(t)dW(t)⟩]=∫0∞i=1∑dj=1∑mE[Xij(t)Yij(t)]dt.
证：<∫0∞X(t)dW(t),∫0∞Y(t)dW(t)>=∑i=1d∑j=1m∑k=1m∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWk(t).\begin{aligned} \left<\int_0^{\infty}X(t)\mathrm{d}W(t),\int_0^{\infty}Y(t)\mathrm{d}W(t)\right>&=\sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{m}\int_0^{\infty}X_{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t)\int_0^{\infty}Y_{ij}(t)\mathrm{d}W_k(t). \end{aligned}⟨∫0∞X(t)dW(t),∫0∞Y(t)dW(t)⟩=i=1∑dj=1∑mk=1∑m∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWk(t). 现在要考虑两个独立的布朗运动W1,W2W_1,W_2W1,W2，分别相对于它们的Ito积分是否也独立呢？
设Y1,Y2Y_1,Y_2Y1,Y2是VVV中的两个简单过程Yk(t)=∑i=0∞ηki(ω)1[ti,ti+1)(t),k∈{1,2}.Y_k(t)=\sum_{i=0}^{\infty}\eta_{ki}(\omega)\mathrm{1}_{[t_i,t_{i+1})}(t),\quad k\in \{1,2\}.Yk(t)=i=0∑∞ηki(ω)1[ti,ti+1)(t),k∈{1,2}. Π\PiΠ相同是可以做到的，只要把两个简单过程的划分点并在一起考虑就可以了。因为YkY_kYk是适应(Ft)(\mathscr{F}_t)(Ft)的随机过程，所以ηki\eta_{ki}ηki是(Ω,Fti)(\Omega,\mathscr{F}_{t_i})(Ω,Fti)上的随机变量。 E[∫0∞Y1(t)dW1(t)∫0∞Y2(t)dW2(t)]=E[(∑i=0∞η1i(W1(ti+1)−W1(ti)))(∑j=0∞η2j(W2(tj+1)−W2(tj)))]=∑i≤jE[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))]+∑i>jE[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))]=∑i≤jE[E[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))∣Ftj]]∑i>jE[E[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))∣Fti]]=∑i<jE[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))E[W2(tj+1)−W2(tj)]]+∑i>jE[η1iη2j(W2(tj+1)−W1(tj))E[W1(ti+1)−W1(ti)]]+∑i=jE[η1iη2jE[W1(ti+1)−W1(ti)]E[W2(tj+1)−W2(tj)]]=0.\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\int_{0}^{\infty}Y_1(t)\mathrm{d}W_1(t)\int_{0}^{\infty}Y_2(t)\mathrm{d}W_2(t)\right]=&\mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=0}^{\infty}\eta_{1i}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}\eta_{2j}\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\right)\right]\\ =&\sum_{i\le j}\mathbb{E}\left[\eta_{1i}\eta_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\right]\\ &+\sum_{i> j}\mathbb{E}\left[\eta_{1i}\eta_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\right]\\ =&\sum_{i\le j}\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\eta_{1i}\eta_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\mid\mathscr{F}_{t_j}\right]\right]\\ &\sum_{i> j}\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\eta_{1i}\eta_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\mid\mathscr{F}_{t_i}\right]\right]\\ =&\sum_{i<j}\mathbb{E}\left[\eta_{1i}\eta_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\mathbb{E}\left[W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right]\right]\\ &+\sum_{i>j}\mathbb{E}\left[\eta_{1i}\eta_{2j}\left(W_2(t_{j+1})-W_1(t_j)\right)\mathbb{E}\left[W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right]\right]\\ &+\sum_{i=j}\mathbb{E}\left[\eta_{1i}\eta_{2j}\mathbb{E}\left[W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right]\mathbb{E}\left[W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right]\right]\\ =&0. \end{aligned}E[∫0∞Y1(t)dW1(t)∫0∞Y2(t)dW2(t)]=====E[(i=0∑∞η1i(W1(ti+1)−W1(ti)))(j=0∑∞η2j(W2(tj+1)−W2(tj)))]i≤j∑E[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))]+i>j∑E[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))]i≤j∑E[E[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))∣Ftj]]i>j∑E[E[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))(W2(tj+1)−W2(tj))∣Fti]]i<j∑E[η1iη2j(W1(ti+1)−W1(ti))E[W2(tj+1)−W2(tj)]]+i>j∑E[η1iη2j(W2(tj+1)−W1(tj))E[W1(ti+1)−W1(ti)]]+i=j∑E[η1iη2jE[W1(ti+1)−W1(ti)]E[W2(tj+1)−W2(tj)]]0.在利用VVV里面的过程都能用简单过程逼近得到一般情况。所以E[∑i=1d∑j=1m∑k=1m∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWk(t)]=∑i=1d∑j=1m∑k=1mE[∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWk(t)]=∑i=1d∑j=1mE[∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWj(t)]=∑i=1d∑j=1m∫0∞E[Xij(t)Yij(t)]dt【一维的Ito等距】.\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{m}\int_0^{\infty}X_{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t)\int_0^{\infty}Y_{ij}(t)\mathrm{d}W_k(t)\right]&=\sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{m}\mathbb{E}\left[\int_0^{\infty}X_{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t)\int_0^{\infty}Y_{ij}(t)\mathrm{d}W_k(t)\right]\\ &=\sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{m}\mathbb{E}\left[\int_{0}^{\infty}X_{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t)\int_0^{\infty}Y_{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t)\right]\\ &=\sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{m}\int_0^{\infty}\mathbb{E}\left[X_{ij}(t)Y_{ij}(t)\right]\mathrm{d}t【一维的Ito等距】. \end{aligned}E[i=1∑dj=1∑mk=1∑m∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWk(t)]=i=1∑dj=1∑mk=1∑mE[∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWk(t)]=i=1∑dj=1∑mE[∫0∞Xij(t)dWj(t)∫0∞Yij(t)dWj(t)]=i=1∑dj=1∑m∫0∞E[Xij(t)Yij(t)]dt【一维的Ito等距】. □.\Box.□.

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