一、前述

谱聚类（spectral clustering）是一种基于图论的聚类方法，主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远（或者相似度较低）的两个点之间的边权重值较低，而距离较近（或者相似度较高）的两个点之间的边权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。

二、具体原理

1、优点
谱聚类相较于前面讲到的最最传统的k-means聚类方法，谱聚类又具有许多的优点：

1.只需要待聚类点之间的相似度矩阵就可以做聚类了。

2.对于不规则的数据（或者说是离群点）不是那么敏感。

3.k-means聚类算法比较适合于凸数据集（数据集内的任意两点之间的连线都在该数据集以内，简单理解就是圆形，可能不准确），而谱聚类则比较通用。

2、相关概念

相似度矩阵S的构建

构建相似度的矩阵的过程中，可以使用欧氏距离、余弦相似度、高斯相似度等来计算数据点之间的相似度，选用哪个要根据你自己的实际情况来。不过在谱聚类中推荐使用的是高斯相似度，但是我在我的工程中使用的是余弦相似度。

拉普拉斯矩阵
 它的定义很简单，拉普拉斯矩阵。是度矩阵，也就是相似度矩阵的每一行（或者每一列）加和得到的一个对角矩阵。W就是图的邻接矩阵。

相似矩阵

邻接矩阵，它是由任意两点之间的权重值组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重，但是在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？
基本思想是，距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，不过这仅仅是定性，我们需要定量的权重值。一般来说，我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵来获得邻接矩阵。

构建邻接矩阵的方法有三类。-邻近法，K邻近法和全连接法。

　　　　对于-邻近法，它设置了一个距离阈值，然后用欧式距离度量任意两点和的距离。即相似矩阵的,  然后根据和的大小关系，来定义邻接矩阵如下：

　　　　从上式可见，两点间的权重要不就是,要不就是0，没有其他的信息了。距离远近度量很不精确，因此在实际应用中，我们很少使用-邻近法。

　　　　第二种定义邻接矩阵的方法是K邻近法，利用KNN算法遍历所有的样本点，取每个样本最近的k个点作为近邻，只有和样本距离最近的k个点之间的。但是这种方法会造成重构之后的邻接矩阵W非对称，我们后面的算法需要对称邻接矩阵。为了解决这种问题，一般采取下面两种方法之一：

　　　　第一种K邻近法是只要一个点在另一个点的K近邻中，则保留

　　　　第二种K邻近法是必须两个点互为K近邻中，才能保留

　　　　第三种定义邻接矩阵的方法是全连接法，相比前两种方法，第三种方法所有的点之间的权重值都大于0，因此称之为全连接法。可以选择不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和Sigmoid核函数。最常用的是高斯核函数RBF，此时相似矩阵和邻接矩阵相同：
　　　　在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。

3、算法流程：

               输入：样本集D=，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度, 聚类方法，聚类后的维度

　　　　输出： 簇划分

　　　　1) 根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵S

　　　　2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D

　　　　3）计算出拉普拉斯矩阵L

　　　　4）求L的最小的个特征值所各自对应的特征向量

　　　　6) 将特征向量组成维的特征矩阵F

　　　　7）对F中的每一行作为一个维的样本，共n个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为。

　　　　8）得到簇划分

4、总结

谱聚类算法是一个使用起来简单，但是讲清楚却不是那么容易的算法，它需要你有一定的数学基础。如果你掌握了谱聚类，相信你会对矩阵分析，图论有更深入的理解。同时对降维里的主成分分析也会加深理解。

谱聚类算法的主要优点有：
　　　　1）谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到
　　　　2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好
谱聚类算法的主要缺点有：
　　　　1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。
　　　　2) 聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。

三、代码

# !/usr/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.colors
from sklearn.cluster import spectral_clustering
from sklearn.metrics import euclidean_distancesdef expand(a, b):d = (b - a) * 0.1return a-d, b+dif __name__ == "__main__":matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falset = np.arange(0, 2*np.pi, 0.1)data1 = np.vstack((np.cos(t), np.sin(t))).Tdata2 = np.vstack((2*np.cos(t), 2*np.sin(t))).Tdata3 = np.vstack((3*np.cos(t), 3*np.sin(t))).Tdata = np.vstack((data1, data2, data3))n_clusters = 3m = euclidean_distances(data, squared=True)sigma = np.median(m)plt.figure(figsize=(12, 8), facecolor='w')plt.suptitle(u'谱聚类', fontsize=20)clrs = plt.cm.Spectral(np.linspace(0, 0.8, n_clusters))for i, s in enumerate(np.logspace(-2, 0, 6)):print(s)af = np.exp(-m ** 2 / (s ** 2)) + 1e-6y_hat = spectral_clustering(af, n_clusters=n_clusters, assign_labels='kmeans', random_state=1)plt.subplot(2, 3, i+1)for k, clr in enumerate(clrs):cur = (y_hat == k)plt.scatter(data[cur, 0], data[cur, 1], s=40, c=clr, edgecolors='k')x1_min, x2_min = np.min(data, axis=0)x1_max, x2_max = np.max(data, axis=0)x1_min, x1_max = expand(x1_min, x1_max)x2_min, x2_max = expand(x2_min, x2_max)plt.xlim((x1_min, x1_max))plt.ylim((x2_min, x2_max))plt.grid(True)plt.title(u'sigma = %.2f' % s, fontsize=16)plt.tight_layout()plt.subplots_adjust(top=0.9)plt.show()