BZOJ2301[HAOI2011] Problem b

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301

Problem b

Description

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

Output

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

Sample Input

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

Sample Output

14
3

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

题解

我们可以很容易就能推出下面的式子：

ans=∑i=1a∑j=1b[gcd(i,j)=d]ans=∑i=1a∑j=1b[gcd(i,j)=d]

ans=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[gcd(i,j)=d]

ans=∑k=1min(n,m)μ(k)⌊adk⌋⌊bdk⌋ans=∑k=1min(n,m)μ(k)⌊adk⌋⌊bdk⌋

ans=\sum_{k=1}^{min(n,m)}\mu(k)\lfloor\frac{a}{dk}\rfloor\lfloor\frac{b}{dk}\rfloor

如果你觉得不是很容易，右转进入ZAP-Queries。

那么我们已经可以求出1∼a,1∼b1∼a,1∼b1\thicksim a,1\thicksim b的答案了，但题目要求是a∼b,c∼da∼b,c∼da\thicksim b,c\thicksim d，我们可以用简单的容斥来解决这个问题：

直接计算1∼b,1∼d1∼b,1∼d1\thicksim b,1\thicksim d时，我们会多算1∼a−1,1∼d1∼a−1,1∼d1\thicksim a-1,1\thicksim d和1∼c−1,1∼b1∼c−1,1∼b1\thicksim c-1,1\thicksim b这一部分，要将其减掉；同时，我们就多减掉了1∼a−1,1∼b−11∼a−1,1∼b−11\thicksim a-1,1\thicksim b-1，把这一部分加回来，我们就得到了正确答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define ll long long
using namespace std;
const int M=5e4+5,N=5e4;
int miu[M],p[M],n;
bool check[M];
void getmiu()
{miu[1]=check[1]=1;R i,j,t;for(i=2;i<=N;++i){if(!check[i])p[++p[0]]=i,miu[i]=-1;for(j=1;j<=p[0];++j){t=i*p[j];if(t>N)break;check[t]=1;if(i%p[j]==0){miu[t]=0;break;}miu[t]=-miu[i];}miu[i]+=miu[i-1];}
}
ll f(int a,int b,int k)
{a/=k,b/=k;if(a>b)swap(a,b);ll ans=0;R l,r;for(l=1;l<=a;l=r+1)r=min(a/(a/l),b/(b/l)),ans+=1ll*(miu[r]-miu[l-1])*(a/l)*(b/l);return ans;
}
void in(){getmiu();scanf("%d",&n);}
void ac(){R a,b,c,d,k,i;for(i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k),printf("%lld\n",f(b,d,k)+f(a-1,c-1,k)-f(a-1,d,k)-f(c-1,b,k));}
int main()
{in();ac();return 0;
}