一元多项式的乘法与加法运算_如果加法变成【乘法】 , 那么什么能变成【加法】 ? —

“代数变形是魔术家真正的魔杖

让我们表演一些真正的魔术：

一些说明》

本文大部分内容来自 https://artofproblemsolving.com/community/c6h566433p3316221 , 因为很有趣 , 打算做一些搬运工作 , 我认为这则证明非常充分地体现了纯粹进行代数变形的美 .

【长文警告】也许你并不打算认真观察推导过程 , 但我仍想强调为看明白这个证明不需要除了四则运算和不等式以外的很多技巧 , 正所谓代数变形之美 . 某种意义上说 , 这反而是一种修行 , 只有拥有足够的耐心的人才能一步步淘尽黄沙 , 终见真金 .

我们考虑在有理数范围内讨论 :

注意 , 本文中 , 我们一致使用

来表示我们对有理数正常理解的加法和乘法运算 , 不用怀疑 ,

都是真切的 .

什么是运算 ? 熟悉抽象代数的读者可以跳过》

为了让更多读者能够理解 , 我们尽可能用简单的话来描述我们接下来要做的有趣的事情 :

我们想在有理数范围内 , 定义两种运算 , 它们满足一些性质 , 不妨把它们记作

( 还记得小学的时候做过的定义新运算题目吗 ? )

一个运算 ( 以

为例子 ) , 具体来说就是对于任意的有理数对

, ( 用括号括起来只是为了让它像一个对子 ) 都有存在且唯一的运算结果 , 我们要求这个结果也是一个有理数 , 把它记作

开始了》

按照我们一般对乘法和加法的理解 , 这个新定义的【加法】和【乘法】( 所有定义的新运算统一用【】表示 ) 至少应该满足 :

对任意有理数

, 下面的式子成立

【数字零】 :

【加法】交换律 :

【加法】结合律 :

分配律 :

脑洞》

现在 , 我们脑洞大开提出一个问题 , 如果我们把【乘法】定义为我们熟悉的正常加法 ( 注意不是那个新的运算 ) , 也就是 :

【脑洞】 :

比如 :

成立

那么到底应该如何定义

【新运算加法】使得它仍然满足我们上面对于新运算的若干条规则呢 ?

换而言之 , 就是我们的标题所问的 , 如果加法变成【乘法】 , 那么什么能变成【加法】 ?

我们用函数方程的方法来解决这个问题 .

根据交换律

, 我们定义一个一元函数

用来方便地表示

根据

中

的定义 ,

变成了

根据分配律

, 代入

, 于是

这样一来 , 就可以用一元函数

代替二元函数

, 变成 :

在结合律中代入

, 变成 :

结合

, 得到

我们把这则性质记为性质

现在交换律

告诉我们

设

于是

我们把这则性质记为性质

如果读者希望证明过程中一直思路清楚 , 可以找找手边的草稿纸把性质

的式子记下来 , 因为我们会非常频繁地用到它们 .

让我们出发吧》

考虑到

对一切

都成立并不是一个符合条件的解 ( 违背性质

)

因此存在有理数

使得

不难发现 , 如果

是符合

的一个解 ( 这三条是目前对

所有的约束条件 ) 那么

也符合 .

因此 , 不妨设

是正的 . 于是我们有 :

存在有理

使得

其中

是正整数 .

定义集合

显然

包含在值域内 .

那么性质

表明任意

, 都有

在集合

中 .

上两者分别表明

在值域中 , 值域在

中 .

因此

就是

的值域 .

考虑性质

由上性质不难得到 ,

在加法下封闭 , 也就是任意

都有

一个重要结论》

接下来我们来证明 :

对任意

都有

如果存在正整数

使得

那么 :

在

中的

在值域内 , 根据加法的封闭性

推出

, 故

而

推出

因此

但是性质

推出

矛盾 !

这说明

中没有负有理数 .

然后性质

结合

的

推出

然后

因此

推出

这结合

中没有负数推出

成立 .

一个重要等式》

对任意有理数

和整数

成立 .

还记得

推出

的情形

我们以此为归纳奠基 , 假设命题在

的时候成立 .

那么考虑下面三条式子 :

这是因为

故得以化简 .

也就是

因为归纳奠基 , 式子得以化简 .

神奇的事情是

立刻得到欲证的

成立 .

已经非常接近结果了》

现在我们证明 :

对所有非负有理数

成立 .

因为性质

推出

因此

对任意有理数

正整数

成立

设

是任意一个正有理数 ,

, 其中

是正整数 .

设

, 其中整数

正 ,

非负 .

现在令

, 在等式

中 : 我们有

这样一来 , 我们就有 :

结合非负整数

情形 ,

还有

加法封闭 , 故上

因此

从而

, 因为

的任意性 ,

结合

得证 .

最后迎来了极其漂亮的结果》

对任意非负的有理数

成立 .

考虑性质

因此

对所有负有理数成立 .

因此

是满足

$ 的唯一解 .

自然的 , 也可能有

, 这种时候还有另一个解 :

所有的解无非是存在有理数

两种情况 , 故这两个解也就是所有可能的解了 .

结合

可知

或者

经验证 , 这两者都满足性质

后记》

很容易发现

两个函数都是符合条件的解 . 但是 , 究竟是不是唯二的解确实是一个非常好的问题 , 通过上面漫长的代数变形 , 我们终于得到了我们想要的结论 . 让人不禁感叹初等代数的奥妙 , 最后的解真的就躲藏在简简单单的几条定义式里 .