本篇文章主要是解释如何从数学上刻画一个向量绕一个轴旋转得到最终的向量的表达式，主要内容可参见Rodrigues formula.

从2D 谈起

不失一般性，我们考虑下图，向量1，坐标为 p 1 = ( x , y ) \mathbf{p}_1 =(x,y) p1=(x,y) 绕 x x x轴（水平轴）逆时针旋转 θ \theta θ角得到向量2，坐标为 p 2 = ( x ′ , y ′ ) \mathbf{p}_2 = (x',y') p2=(x′,y′)，此时向量2在该坐标系下的表示如下图所示

Observation 1

该公式的推导非常简单，假设向量1与 x x x轴的夹角为 α \alpha α, 利用三角函数求和公式阔以直接得到，故此不再赘述。
观察 p ′ = ( x ′ , y ′ ) \mathbf{p}' = (x',y') p′=(x′,y′)的表达式，跟欧拉公式
e j θ = cos ⁡ ( θ ) + j sin ⁡ ( θ ) , j 2 = − 1 e^{j \theta} = \cos(\theta) + j \sin(\theta), j^2= -1 ejθ=cos(θ)+jsin(θ),j2=−1
联系起来，将 x x x轴看作 R e Re Re实轴， y y y轴看作 I m Im Im轴，此时向量1可以用一个复数 p 1 = x + j y p_1 = x+ jy p1=x+jy表示，类似地，向量2可以用一个复数 p 2 = x ′ + j y ′ p_2= x'+ j y' p2=x′+jy′表示。利用复数乘法，向量2可以表示为
p 2 = e j θ p 1 p_2 = e^{j \theta} p_1 p2=ejθp1
此时，我们得到了复数乘法的几何意义，即：一个复数与 e j θ e^{j \theta} ejθ 相乘，这个复数的相位发生了 θ \theta θ的逆时针偏转。
（注：值得注意的是，规定旋转的正方向很重要，这里我们规定逆时针为正方向，否则会造成模糊）

Observation 2

为了方便3D的公式，我们需要将向量 p 2 \mathbf{p}_2 p2写成向量 p 1 \mathbf{p}_1 p1的形式，观察上图中的公式
[ x ′ y ′ ] = cos ⁡ ( θ ) [ x y ] + sin ⁡ ( θ ) [ − y x ] = cos ⁡ ( θ ) p + sin ⁡ ( θ ) p ⊥ \begin{align} \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \cos(\theta) \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] + \sin(\theta) \left[ \begin{matrix} -y \\ x \end{matrix} \right] = \cos(\theta) \mathbf{p} + \sin(\theta) \mathbf{p}_{\perp} \end{align} [x′y′]=cos(θ)[xy]+sin(θ)[−yx]=cos(θ)p+sin(θ)p⊥
其中 p ⊥ = [ − y , x ] T \mathbf{p}_{\perp} = [-y,x]^T p⊥=[−y,x]T 与向量 p \mathbf{p} p垂直，并且 ∥ p ⊥ ∥ 2 = ∥ p ∥ \| \mathbf{p}_{\perp} \|_2 = \| \mathbf{p}\| ∥p⊥∥2=∥p∥。由此可见，旋转后的向量可以由旋转前的向量与其垂直的向量线性表示出来。

3D 向量旋转

Rodrigues formula

当我们考虑3维空间如下图所示，选定旋转轴（ rotation axis)，其方向向量记为 n ^ \mathbf{\hat n} n^, 并且其模值为1。

Special case

为了方便解释，我们可以先考虑一个简单的场景: 向量 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v 垂直于旋转轴, 记逆时针旋转 θ \theta θ之后的向量为 v → ′ \mathbf{ \overrightarrow{v}}' v ′。

如何得到 v → ′ \mathbf{ \overrightarrow{v}}' v ′的表达式呢？
为了回答这个问题，我们首先注意到向量 v → ′ \mathbf{ \overrightarrow{v}}' v ′ 跟向量 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v 位于同一平面，我们可以用之前得到2D下的公式来刻画旋转后的向量 v → ′ \mathbf{ \overrightarrow{v}}' v ′，但是怎么得到跟向量 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v 正交的向量呢？
注意到旋转轴 n ^ \mathbf{\hat n} n^垂直于 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v ，根据右手法则，向量 n ^ \mathbf{\hat n} n^叉乘 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v 得到
（ n ^ × v → ） ⊥ v → , and ∥ （ n ^ × v → ） ∥ = ∥ n ^ ∥ v → ∥ sin ⁡ ( π / 2 ) = ∥ v → ∥ （\mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} ） \perp \mathbf{ \overrightarrow{v}} , {\text {and } } \| （\mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} ） \| = \| \mathbf{\hat n}\| \mathbf{ \overrightarrow{v}}\| \sin(\pi/2) = \| \mathbf{ \overrightarrow{v}}\| （n^×v ）⊥v ,and ∥（n^×v ）∥=∥n^∥v ∥sin(π/2)=∥v ∥
因此，向量 v → ′ \mathbf{ \overrightarrow{v}}' v ′可以表示为
v → ′ = cos ⁡ ( θ ) v → + sin ⁡ ( θ ) （ n ^ × v → ） \mathbf{ \overrightarrow{v}}' = \cos(\theta) \mathbf{ \overrightarrow{v}} + \sin(\theta) （\mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} ） v ′=cos(θ)v +sin(θ)（n^×v ）
由此可见，3D空间中，旋转后的向量依然可以表示为原向量于其垂直向量的线性组合，且其系数分别为 cos ⁡ ( θ ) \cos(\theta) cos(θ)和 sin ⁡ ( θ ) \sin(\theta) sin(θ)。

任意向量的旋转

在上个小节，我们讨论了向量 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v 垂直于旋转轴 n ^ \mathbf{\hat n} n^的特殊情况, 若向量 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v 于旋转轴不垂直呢？如下图所示，向量 v → \mathbf{ \overrightarrow{v}} v 可以做分解为
v → = v → ∥ + v → ⊥ \mathbf{ \overrightarrow{v}} = \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} + \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\perp} v =v ∥+v ⊥

同理，旋转后的向量也可以由如下式子合成
v → ′ = v → ′ ∥ + v → ′ ⊥ \mathbf{ \overrightarrow{v}'} = \mathbf{ \overrightarrow{v}'} _{\parallel} + \mathbf{ \overrightarrow{v}'} _{\perp} v ′=v ′∥+v ′⊥
即，我们只需要找到对应的
v → ′ ∥ ↦ v → ∥ and v → ′ ⊥ ↦ v → ⊥ \mathbf{ \overrightarrow{v}'} _{\parallel} \mapsto \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} \text{ and } \mathbf{ \overrightarrow{v}'} _{\perp} \mapsto \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\perp} v ′∥↦v ∥ and v ′⊥↦v ⊥
的关系式，再拼起来就可以了。
乍一看好像多了步骤，但其实仔细看看就知道， v → ∥ \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} v ∥绕旋转轴不改变其方向和大小，而 v → ⊥ \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\perp} v ⊥的公式我们已经从之前的special case中得到了。也就是说
v → ′ = v → ′ ∥ + v → ′ ⊥ = v → ∥ + cos ⁡ ( θ ) v → ⊥ + sin ⁡ ( θ ) ( n ^ × v → ⊥ ) = ( a ) v → ∥ + cos ⁡ ( θ ) ( v → − v → ∥ ) + sin ⁡ ( θ ) ( n ^ × v → ) = cos ⁡ ( θ ) v → + ( 1 − cos ⁡ ( θ ) ) v → ∥ + sin ⁡ ( θ ) ( n ^ × v → ) = ( b ) cos ⁡ ( θ ) v → + ( 1 − cos ⁡ ( θ ) ) ( n ^ ⋅ v → ) n ^ + sin ⁡ ( θ ) ( n ^ × v → ) \begin{align} \mathbf{ \overrightarrow{v}'} =& \mathbf{ \overrightarrow{v}'} _{\parallel} + \mathbf{ \overrightarrow{v}'} _{\perp} \\ =&\mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} + \cos(\theta) \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\perp} + \sin(\theta) ( \mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\perp} ) \\ \stackrel{(a)}=& \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} + \cos(\theta) ( \mathbf{ \overrightarrow{v}} - \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} ) + \sin(\theta) ( \mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} ) \\ =& \cos(\theta) \mathbf{ \overrightarrow{v}} + (1-\cos(\theta)) \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} + \sin(\theta) ( \mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} ) \\ \stackrel{(b)}=& \cos(\theta) \mathbf{ \overrightarrow{v}} + (1-\cos(\theta)) \big( \mathbf{\hat n} \cdot \mathbf{ \overrightarrow{v}} \big) \mathbf{\hat n} + \sin(\theta) ( \mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} ) \end{align} v ′===(a)==(b)v ′∥+v ′⊥v ∥+cos(θ)v ⊥+sin(θ)(n^×v ⊥)v ∥+cos(θ)(v −v ∥)+sin(θ)(n^×v )cos(θ)v +(1−cos(θ))v ∥+sin(θ)(n^×v )cos(θ)v +(1−cos(θ))(n^⋅v )n^+sin(θ)(n^×v )

等号(a)中利用了向量分解
v → ⊥ = v → − v → ∥ \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\perp} = \mathbf{ \overrightarrow{v}} - \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} v ⊥=v −v ∥
而等号(b)中利用向量
v → ∥ = ( n ^ ⋅ v → ) n ^ \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} = \big( \mathbf{\hat n} \cdot \mathbf{ \overrightarrow{v}} \big) \mathbf{\hat n} v ∥=(n^⋅v )n^
(这里很简单，因为 v → ∥ \mathbf{ \overrightarrow{v}} _{\parallel} v ∥方向与 n ^ \mathbf{\hat n} n^相同，而其大小可以由两个向量的点积（即投影）得到。由此，我们得到了Rodrigues 公式
v → ′ = cos ⁡ ( θ ) v → + ( 1 − cos ⁡ ( θ ) ) ( n ^ ⋅ v → ) n ^ + sin ⁡ ( θ ) ( n ^ × v → ) \mathbf{ \overrightarrow{v}'} = \cos(\theta) \mathbf{ \overrightarrow{v}} + (1-\cos(\theta)) \big( \mathbf{\hat n} \cdot \mathbf{ \overrightarrow{v}} \big) \mathbf{\hat n} + \sin(\theta) ( \mathbf{\hat n} \times \mathbf{ \overrightarrow{v}} ) v ′=cos(θ)v +(1−cos(θ))(n^⋅v )n^+sin(θ)(n^×v )
记忆公式的时候，只要回想一遍推导过程就好了。

Reference:
[1] https://www.youtube.com/watch?v=q-ESzg03mQc&t=6s
[2]https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf

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