【计算方法】非线性方程和优化
0.WARNINGS
本文章主要适用于计算方法代码的实现参考，由于本人是python究极小白，为了实验课速成了一些内容，因此会包含较多的暴力解法orz，如有代码错误、可优化的地方欢迎各位大佬指出，感激不尽。
此外，本人制作本文的目的，主要是懒的将代码保存在本地中，且博客方便个人的复习。
非线性方程和优化主要包含的内容有：二分法；普通迭代法；牛顿迭代法；弦截法（单点&两点）；
1.
用二分法求方程 xlnx = 1 在[0.5 , 4] 的近似根，使函数值误差不超过0.001，或有根区间长度不超过0.001。输出保留3位小数。
import matha=0.5
b=4def f(x):return x*math.log(x)-1while 1:mid=a / 2 + b / 2if math.fabs(f(mid)) < 0.001 or math.fabs(a - b) < 0.001:ret = midbreakelse:if f(mid)*f(a)<=0:b=midelse:a=midprint("%.3f" % ret)2.
用迭代法求方程 x= e –x在x=0.5附近的一个根，结果的精度要求0.00001。输出保留4位小数
import mathdef f(x):return math.e**(-x)x=0.5while 1:temp=xx=f(x)if math.fabs(temp-x)<0.00001:breakprint("%.4f" % x)3.
用迭代法求函数f(x)=x-lnx-2在区间（2，+∞）内的零点,误差是0.00001，最高迭代次数是500次。输出保留三位小数。
import mathdef f(x):return math.log(x)+2x=2
cnt=0
while cnt<=500:temp=xx=f(x)if math.fabs(temp-x)<0.00001:breakelse:cnt += 1print("%.3f" % x)4.
用迭代法求方程3 x2- e x=0在[3,4]区间的一个根，结果的精度要求0.0001。输出保留3位小数
import mathdef f(x):return math.log(3*x**2)x=3.5
while x>=3 and x<=4:temp=xx=f(x)if math.fabs(temp-x)<0.00001:breakprint("%.3f" % x)5.
输出x^3-x^2-1=0的有根区间，并在该有根区间内通过二分法找到其具有4位有效数字的根。
注意：有根区间的长度为0.1，输出到小数点后1位。
例如：
输出：
3.5(有根区间左端点)
3.6（有根区间右端点）
3.578（根）
（此非该题的正确解，只是示例）
import mathdef f(x):return pow(x,3)-pow(x,2)-1# 容易发现f(1)<0 and f(2)>0
i=1
while i<2:i+=0.1if f(i)>0:b=ia=i-0.1break
print("%.1f" % a)
# (有根区间左端点)
print("%.1f" % b)
# (有根区间右端点)while 1:mid=a/2+b/2if math.fabs(f(mid))<0.001 or math.fabs(a-b)<0.001:ret=midbreakelse:if f(mid)*f(a)<=0:b=midelse:a=mid
print("%.3f" % ret)
# （根）6.
设函数f(x)=sinx-(x/2)2，牛顿法求函数的根。初始值是2.0，误差是0.0001，最高迭代次数是500次。输出保留三位小数。
import math# 设函数f(x)=sinx-(x/2)2，牛顿法求函数的根。
# 初始值是2.0，误差是0.0001，最高迭代次数是500次。输出保留三位小数。def f(x):return math.sin(x)-(x/2)**2def f1(x):return math.cos(x)-x/2def fai(x):return x-f(x)/f1(x)cnt=0
e=0.0001
myx=2.0
while cnt<500:temp=fai(myx)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempbreakelse:myx=tempprint("%.3f" % myx)7.
用牛顿迭代法求解x2=A的根，要求误差小于0.00001
输入：A
输出：迭代序列值 迭代次数（从初值x0=A开始迭代）迭代值保留5位有效数字
例如：
输入： 7
输出： 4.00000 1
2.87500 2
2.65489 3
2.64577 4
2.64575 5
2.64575 6
import math# 用牛顿迭代法求解x2=A的根，要求误差小于0.00001A=float(input())def fai(x,A):return x-(x**2-A)/(2*x)e=0.00001
myx=A
cnt=int(0)
while 1:temp=fai(myx,A)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempcnt+=1breakelse:myx=tempcnt+=1print("%.5f %d" % (myx, cnt))print("%.5f %d" % (myx,cnt))8.
对非零实数a,采用牛顿迭代法设计一个不用除法运算求解1/a的计算程序。误差小于10-5 初值x0=0.01
输入：a
输出：迭代序列 (保留5位小数) 迭代次数
例如：
输入：7
输出：
0.01930 1
0.03599 2
0.06292 3
0.09812 4
0.12885 5
0.14148 6
0.14284 7
0.14286 8
0.14286 9
import math
import sys# 对非零实数a,采用牛顿迭代法设计一个不用除法运算求解1/a的计算程序。
# 误差小于10-5 初值x0=0.01a=float(input())if a==0:print("a cannot be zero")sys.exit()def f(x,a):return 1/x-adef f1(x,a):return -1/(x**2)def fai(x,a):return x-f(x,a)/f1(x,a)e=0.00001
myx=0.01
cnt=int(0)
# fx=1/x
while 1:temp=fai(myx,a)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempcnt+=1breakelse:myx=tempcnt+=1print("%.5f %d" % (myx,cnt))print("%.5f %d" % (myx,cnt))9.
在重根数未知情况下，求解非线性方程f(x)=e^(2x)-1-2x-2x^2的误差小于0.0001的根。
输入迭代初始值，输出每次的近似解和迭代次数（空格分隔），近似解保留小数点后5。
例如：
输入：2
输出：
-2.47756 1
-0.26450 2
-0.00996 3
-0.00002 4
0.00000 5
import math
import sysdef f(x):return math.e**(2*x)-1-2*x-2*x**2def f1(x):return 2*math.e**(2*x)-2-4*xdef f2(x):return 4*math.e**(2*x)-4def fai(x):return x-f1(x)*f(x)/(f1(x)**2-f(x)*f2(x))e=0.0001
cnt=int(0)
myx=float(input())while 1:temp=fai(myx)if math.fabs(temp-myx)<e:myx = tempcnt += 1breakelse:myx=tempcnt+=1print("%.5f %d" % (myx,cnt))print("%.5f %d" % (myx,cnt))10.
单点弦截法求f(x)=x-sinx-1在[1，2]区间解，误差为0.0001
输入格式：
a的值 b的值 （a为定点）
输出格式：
根（保留4位小数）迭代次数
输入：
1 2
输出：
1.9346 12
import mathinp = input().split(' ')
a = float(inp[0])
b = float(inp[1])e=0.0001
cnt=int(1)def f(x):return x-math.sin(x)-1def fai(x,x0):return x-f(x)/(f(x)-f(x0))*(x-x0)
# x0=awhile 1:if math.fabs(b-fai(b,a))<e:b+=ebreakelse:b=fai(b,a)cnt+=1print("%.4f %d" % (b,cnt))11.
用双点弦法求方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根。初始两点分别是0.3， 0.8， 最高迭代次数是500次，误差是0.0001。输出后值，并保留三位小数。
import math
# 用双点弦法求方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根。初始两点分别是0.3， 0.8，
# 最高迭代次数是500次，误差是0.0001。输出后值，并保留三位小数。def f(x):return x*math.e**x-1def fai(xk,x):return xk-f(xk)/(f(xk)-f(x))*(xk-x)
# xk=b,x=ae=0.0001
a=0.3
b=0.8
cnt=1
myx=0while cnt<=500:if math.fabs(fai(b,a)-myx)<e:myx = fai(b, a)# output the latter one?breakelse:myx=fai(b,a)a=bb=myxcnt+=1print("%.3f" % myx)12.
对于f(x)=x3-3x-1用三种方法求解。输入两个初值，x0和x1,其中xo作为牛顿法的初值进行迭代求解，x0为单点弦截的不动点和x1作为初值迭代求解，x0和x1作为双点弦截的不动点迭代求解，误差小于0.00001。输出迭代值和迭代次数，迭代值保留5位有小数。
例如：
输入：
1.5 3
输出：
2.06667 1 （牛顿迭代结果）
1.90088 2
1.87972 3
1.87939 4
1.87939 5
1.66667 1（单点弦截迭代结果）
1.96933 2
1.84938 3
1.89032 4
1.87552 5
1.88077 6
1.87889 7
1.87956 8
1.87932 9
1.87941 10
1.87938 11
1.87939 12
1.87938 13
1.66667 1（双点弦截迭代结果）
1.76613 2
1.90130 3
1.87744 4
1.87935 5
1.87939 6
1.87939 7
import mathinp = input().split(' ')
x0 = float(inp[0])
x1 = float(inp[1])
e=0.00001def f(x):return x**3-3*x-1def f1(x):return 3*x**2-3def fai(x):return x-f(x)/f1(x)def singlefai(x,x0):return x-f(x)/(f(x)-f(x0))*(x-x0)
# x0=a# Newton
newtoncnt=0
myx=x0
while 1:temp=fai(myx)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempnewtoncnt+=1breakelse:myx=tempnewtoncnt += 1print("%.5f %d" % (myx,newtoncnt))
print("%.5f %d" % (myx,newtoncnt))# print("single")
# single point
singlecnt=0
b=x1
a=x0
while 1:if math.fabs(b-singlefai(b,a))<e:b+=esinglecnt += 1breakelse:b=singlefai(b,a)singlecnt+=1print("%.5f %d" % (b,singlecnt))
print("%.5f %d" % (b,singlecnt))def doublefai(xk,x):return xk-f(xk)/(f(xk)-f(x))*(xk-x)
# xk=b,x=a# double point
#print("double point")
doublecnt=0
b=x1
a=x0
myx=2 # ? not sure
while 1:if math.fabs(doublefai(b,a)-myx)<e:myx=doublefai(b,a)doublecnt += 1breakelse:myx=doublefai(b,a)a=bb=myxdoublecnt+=1print("%.5f %d" % (myx,doublecnt))
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