差分进化算法之Matlab实现

一、介绍
差分进化算法是模拟自然界生物种群以“优胜劣汰，适者生存”为原则的进化发展规律而形成的一种随机启发式搜索算法。其保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码，基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略，比遗传算法更简单。同时，差分进化算法独特的记忆能力使其可以动态的跟踪当前的搜索情况，及时调整搜索测量，因此具有较强的全局收敛能力。
目前为止，差分进化算法已经成为一种求解非线性，不可微，多极值和高维复杂函数的一种极其有效的方法。
在优化设计中，差分进化算法与传统的算法相比，具有以下特点：
1.差分进化算法从一个群体即多个点而不是从一个点开始搜索，这也是算法能够以较大的概率找到整体最优解的原因。
2.算法的进化准则是基于适应性信息的，不需要其他的辅助性信息，如要求函数可导，连续等。
3. 差分进化算法具有内在的并行性，适用于大规模并行分布处理，减小时间成本开销。
但缺点为：
1.算法后期个体之间的差异性减小，收敛速度慢，易陷入局部最优。
2.没有利用个体的先验知识，可能较多的迭代次数才能收敛到全局最优
算法框架：

(1)群体初始化
在n维空间里随机产生满足约束条件的M个个体
xij(0)=xijmin+(xijmax−xijmin)∗rand(0,1)x_{ij}(0)=x_{ij_{min}}+(x_{ij_{max}}-x_{ij_{min}})*rand(0,1)xij(0)=xijmin+(xijmax−xijmin)∗rand(0,1)
其中，xijmax,xijminx_{ij_{max}},x_{ij_{min}}xijmax,xijmin表示第jjj个染色体的上下界。
(2) 变异
从群体中随机选择三个个体xp1,xp2,xp3x_{p1},x_{p2},x_{p3}xp1,xp2,xp3且要求i≠p1≠p2≠p3i\neq p1\neq p2\neq p3i̸=p1̸=p2̸=p3,则：
hij(t+1)=xp1j(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t))h_{ij}(t+1)=x_{p1j}(t)+F*(x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t))hij(t+1)=xp1j(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t))
如果没有局部优化的问题，变异操作为：
hij(t+1)=xbj(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t))h_{ij}(t+1)=x_{bj}(t)+F*(x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t))hij(t+1)=xbj(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t))
其中，xp2j(t)−xp3j(t)x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t)xp2j(t)−xp3j(t)为差异化向量，是差分进化算法的关键；F为变异因子；P1，P2,P3为随机整数，表示个体在种群中的序号；xbjx_{bj}xbj是当前种群中最好的个体，这一步借鉴了当前种群中最好的个体信息，可以大大加快收敛速度
(3) 交叉
交叉操作可以增加群体的多样性
vij(t+1)={hij(t+1),rand lij≤CRhxij(t),rand lij>CRv_{ij}(t+1)=\left\{ \begin{array}{c} h_{ij}(t+1),rand\; l_{ij} \leq CR\\ hx{ij}(t),rand\; l_{ij}>CR\ \end{array}\right. vij(t+1)={hij(t+1),randlij≤CRhxij(t),randlij>CR
CR为交叉因子。
(4) 选择操作
为了确定xi(t+1)x_i(t+1)xi(t+1)是否成为下一代的成员，我们需要对目标向量和当前的向量的适应度值进行比较，具体由适应度函数决定：
xi(t+1)={vi(t+1),f(vi1(t+1),...vin(t+1))<f(xi1(t),...,xin(t))xi(t+1),f(vi1(t+1),...vin(t+1))≥f(xi1(t),...,xin(t))x_{i}(t+1)=\left\{ \begin{array}{c} v_{i}(t+1),f(v_{i1}(t+1),...v_{in}(t+1)) <f(x_{i1}(t),...,x_{in}(t))\\ x_{i}(t+1),f(v_{i1}(t+1),...v_{in}(t+1))\geq f(x_{i1}(t),...,x_{in}(t)) \ \end{array}\right. xi(t+1)={vi(t+1),f(vi1(t+1),...vin(t+1))<f(xi1(t),...,xin(t))xi(t+1),f(vi1(t+1),...vin(t+1))≥f(xi1(t),...,xin(t))
通过反复执行步骤(2)到(4),直至达到最大的迭代次数。
二、参数设置
1.变异因子F
变异因子是控制种群多样性和收敛性的重要参数，当F值较小时，种群之间的差异度小，容易使得种群过早的收敛于局部最小值，当F过大时，容易跳出局部最优解，但是收敛速度会减慢。F一般在[0,2]之间取值。
2.交叉因子CR
交叉因子可以控制个体参数的各维对交叉的参与程度，全局搜索和局部搜索能力的平衡。CR越小，种群多样性减小，容易收敛于局部最优解。CR越大，收敛速度变快，但过大，扰动大于群体差异度时，会导致收敛变慢。CR一般取[0,1]之间。
3.群体规模Size
Size一般为5D和10D之间，D时求解的维度。Size越大，获得最优解的概率越大，但计算时间增长。
4.迭代次数G
G 一般作为近化过程的终止条件，G越大，最优解越精准。当然终止条件也可以由适应度函数给出。
三、matlab代码
以函数
f(x,y)=−20e−0.2（x2+y2）/2−e(cos2πx+cos2πy)/2+ef(x,y)=-20e^{-0.2\sqrt{（{x^2+y^2}）/2}}-e^{({cos2\pi x+cos2 \pi y})/2}+e f(x,y)=−20e−0.2（x2+y2）/2−e(cos2πx+cos2πy)/2+e为例
三维图为：

可见该函数是多极值的。函数全局最优解为max(max(f(x,y)))=-19.2926，使用一般的算法，极易陷入局部的最优解。
使用差分进化算法，结果为-19.2523,与真实值十分的接近。
适应度函数变化曲线为：

matlab代码为：

% clear all;
% close all;
%
size=50;%群体个数
Codel=2;%所求的变量个数MinX(1)=-5;%未知量范围MinX(2)=-5;MaxX(1)=5;MaxX(2)=5;G=200;%迭代次数F=1.2;%变异因子[0 2]cr=0.8;%交叉因子[0.6 0.9]%初始化种群for i=1:1:CodelP(:,i)=MinX(i)+(MaxX(i)-MinX(i))*rand(size,1);    endBest=P(1,:);%全局最优个体 之后不断更新for i=2:sizeif(fun_DE(P(i,1),P(i,2))>fun_DE(Best(1),Best(2)))Best=P(i,:);endendfi=fun_DE(Best(1),Best(2));%不是C语言 一定要记得给初始变量否则程序跑飞%%进入循环直到满足精度要求或者迭代次数达到for Kg=1:1:Gtime(Kg)=Kg;%第二步 变异for i=1:sizer1=1;r2=1;r3=1;r4=1;%使得个体满足变异条件while(r1==r2||r1==r3||r1==r4||r2==r3||r2==r4||r3==r4||r1==i||r2==i||r3==i||r4==i)r1=ceil(size*rand(1));%大小匹配 r2=ceil(size*rand(1));r3=ceil(size*rand(1));r4=ceil(size*rand(1));endh(i,:)=P(r1,:)+F*(P(r2,:)-P(r3,:));%h(i,:)=Best+F*(P(r2,:)-P(r3,:));for j=1:Codel %检查是否越界if(h(i,j)<MinX(j))h(i,j)=MinX(j);elseif(h(i,j)>MaxX(j)) h(i,j)=MaxX(j);endend%交叉for j=1:Codeltemper=rand(1);if(temper<cr)v(i,j)=h(i,j);elsev(i,j)=P(i,j);endend%选择if(fun_DE(v(i,1),v(i,2))>fun_DE(P(i,1),P(i,2)))P(i,:)=v(i,:);endif(fun_DE(P(i,1),P(i,2))>fi)fi=fun_DE(P(i,1),P(i,2));Best=P(i,:);endendBest_f(Kg)=fun_DE(P(i,1),P(i,2));endfprintf('最优解结果为%f,%f',Best(1),Best(2));fprintf('最大函数值为%f',Best_f(Kg));plot(time,Best_f(time));

适应度函数

function J=fun_DE(x1,x2)
% J=100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;
J=-20*exp((0.2*sqrt((x1^2+x2^2)/2)))-exp((cos(2*pi*x1)+cos(2*pi*x2))/2)+exp(1);
end

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