文章目录

前序r d p q
一、一元随机数的产生
- 1.均匀分布随机数runif
- 2.正态分布随机数的产生rnorm
- 3.指数分布随机数产生rexp
- 4.二项分布随机数的产生rbinom
二、多元随机数的产生mv，rm，pm
- 1.多元正态分布随机数
- 2.多元正态分布的累积概率、密度函数、分位数
- 3.多元t分布随机数
三、随机抽样sample
- 1.放回与无放回抽样
- 2.重抽样
四、统计模拟
- 几种常见的模拟方法
- 1. 二项分布模拟中心极限定理
- 2.利用函数进行模拟
- 3.正态概率模拟
- 4.模拟函数的建立方法

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考，以下纯属学习笔记。其中借助到了许多资料。书籍。

前序r d p q

除了在分布函数名前面加’r’表示生成随机数外，还可以加“p,q,d”
r- :表示生成相应分布的随机数
d- :生成相应分布的密度函数
p- :生成相应分布的累积概率密度函数
q- :生成相应分布的分位数函数(累积概率密度函数的逆函数)
例如：
dnorm: 生成正态分布密度函数
pnorm：生成正态分布累积概率密度函数
qnorm: 生成正态分布分位数函数

一、一元随机数的产生

1.均匀分布随机数runif

语法结构：runif(n,min=0,max=1)

runif(3,1,3)

省略参数min和max，默认在[0,1]上生成均匀分布随机数。

runif()默认每次生成的随机数不同,但有多种生成随机数的方法
当我们要求每次生成的随机数相同时，可以使用**set.seed()**设定随机数种子，其参数取整数，代表播的第几颗种子，后面在该种子下产生随机数。
（示例）：

set.seed(1)#种子取一样，后面生成的随机数就相同
runif(5)set.seed(1)
runif(5)

2.正态分布随机数的产生rnorm

涉及两个参数：位置参数mu(均值)、尺度参数sigma(标准差)生成正态分布随机数的函数是rnorm(),语法结构为：
rnorm(n,mean = ,sd = )

rnorm(5,10,5) #产生 5 个均值为 10 ,标准差为 5 的正态分布随机数

产生1000个正态分布随机数，做它们的概率直方图hist，再添加正态分布的密度函数线。
hist()表示画直方图，用法格式：
hist(v,main,xlab,xlim,ylim,breaks,col,border)
v 是包含直方图中使用数据的向量
main 直方图的标题
col 设置条的颜色
border 设置每个条的边框颜色
xlab 描述x轴（y轴是密度）
xlim 指定x轴上的值范围
ylim 指定y轴上的值范围
breaks设置条的宽度

x=rnorm(1000)
hist(x,prob=T,main="normal mu=0,sigma=1")

curve(dnorm(x),add=T,col=“red”)#添加正态分布密度函数线
add为逻辑值，add=T表示添加到一个已经存在的绘图中，
如果add=NA 则开始一个新的绘图
如果没有打开图形设备，则视为FALSE。

curve(dnorm(x),add=T,col="red")

3.指数分布随机数产生rexp

如果x服从指数分布，记为x~exp(λ),其中λ等于x的均值的倒数。
产生指数分布随机数的函数为：rexp()，
用法格式为rexp(n,lamda=1/mean),n为生成随机数的个数。
示例：

x=rexp(100,1/10) # 生成 100 个均值为 10 的指数分布随机数
hist(x,prob=T,col=gray(0.9),main="exp(1/10)") #gray表示灰色里面参数表示灰度
x
curve(dexp(x,1/10),add=T,col="red") #添加指数分布密度函数线(模拟指数分布曲线图)

rexp()和逆变换法比较

 Nsim=10^4U=runif(Nsim)UX=-log(U)Y=rexp(Nsim)par(mfrow=c(1,2)) #表示在1个界面画2个图hist(X,freq=F,main="Exp from Uniform")

画X的直方图
freq为逻辑值，如果为TRUE表示直方图图形是频率的表示，即结果的计数成分
如果是FALSE，则绘制概率密度，即成分为密度（直方图的总面积为1）

 curve(dexp(x,1),add=T,col="red")#在直方图上添加密度函数曲线hist(Y,freq=F,main="Exp from R")# 画Y的直方图curve(dexp(x,1),add=T,col="red")
#在直方图上添加密度函数曲线

由以上两个直方图可以看出，这两者生成的随机数和指数分布X~Exp(1)都很接近.

4.二项分布随机数的产生rbinom

二项分布是指n次独立重复贝努力试验成功次数的分布。
每次贝努力试验的结果只有成功和失败两种，记成功的概率为p
如果变量x服从二项分布，记为：x~B(n,p),n表示试验次数，p表示成功概率。
生成二项分布随机数的格式为：
rbinom(n,size,prob)
n表示生成的随机数数量
size表示进行贝努力试验的次数
prob表示一次贝努力试验成功的概率

size=1; p=0.5
rbinom(10,size,p) #这里实质为两点分布

二项分布是离散分布，但随着试验次数n的增大，二项分布越接近于正态分布。

 par(mfrow=c(2,2))#将4个图按照行排成2行2列p=0.25for( n in c(10,20,50,500)){ x=rbinom(100,n,p)hist(x,prob=T,main=paste("n =",n))#paste 拼接xvals=0:n points(xvals,dbinom(xvals,size,p),type="h",lwd=3)#在指定坐标上绘制一连串的点
}

可以发现随着试验次数n的增加，二项分布越来越接近正态分布。
除了前面介绍的几种分布的随机数外，还可以生成Poisson分布、t分布和F分布等多种分布的随机数，只要在相应分布名前面加’r’就可以了。
例如，泊松分布（poisson）随机数的产生：
泊松分布也是离散分布
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布
密度函数为：p(X=k)=((λ^k)*(exp(-λ)))/(k!)(k=0,1,…)
记为：X~P(λ), 其中λ=E(X)=V(X)
产生泊松分布随机数的函数为： rpois(n,λ)

rpois(10,7)

求标准正态分布P（x <= 2 ）的累积概率

pnorm(2)

## 已知标准正态分布累积概率为P(x<=a)=0.95,求对应的分位数a.
qnorm(0.95)
## 服从正态分布x~N(1,2),求p（x<=a）=0.05,求a
qnorm(0.05,1,sqrt(2))

plot(function(x) dnorm(x, log = TRUE), ylab="",-60, 60,main = "log { Normal density }")

正态分布密度函数dnorm()中的log为逻辑值，如果为TURE，则概率p以log§给出。

curve(log(dnorm(x)), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

t分布

plot(function(x) dt(x,3),ylab="",-5,5)
#dt(x,3)表示服从自由度为3的t分布密度函数

F分布

plot(function(x) df(x,1,1),ylab="",-10,10)
#绘制自由度为1,1的F分布密度函数曲线

二、多元随机数的产生mv，rm，pm

1.多元正态分布随机数

产生多元正态分布随机数的方法：

**方法一：**可以使用MASS包中的 mvrnorm()函数
用法格式：
mvrnorm(n = 1, mu, Sigma, tol = 1e-6, empirical = FALSE, EISPACK = FALSE)
n：生成的随机数个数
mu: 均值向量
Sigma: 协方差矩阵
tol: 容忍度（精度）
empirical：逻辑参数，取TRUE时，mu和Sigma取经验均值和协方差阵
**例：**如果需要产生均值都是0、协方差矩阵为
V=matrix(c(10,3,3,2),2,2)的二元正态分布随机数，

library(MASS)
Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
Sigma
x=mvrnorm(n=1000, rep(0, 2), Sigma)
x
head(x)#X中的前几个随机向量组
var(x)

**方法二：**利mvtnorm包中的rmvnorm()函数, 格式如下：
n 为生成随机数的个数
mean 为均值向量
sigma 为协方差矩阵
method 提供了三种对sigma矩阵进行分解的方法：
特征根分解‘eign’（默认），奇异值分解‘sv’,以及cholesky分解‘chol’。

例：生成均值为（1,2），协方差阵为
V=matrix(c(10,3,3,2),2,2) 的二元正态分布随机数。

install.packages("mvtnorm")
library(mvtnorm)
sigma <- matrix(c(10,3,3,2), ncol=2)
x <- rmvnorm(n=500, mean=c(1,2), sigma=sigma)
head(x)
colMeans(x) #x中各列的均值
var(x)
plot(x)# 绘制二元正态分布随机数X的散点图。

从散点图可知，两个正态分布随机数呈正相关关系。
可以从协方差阵里面算出相关系数。

设置图形参数：

par(mfrow=c(1,1)) #设置图形参数
x <- rmvnorm(n=500, mean=c(1,2), sigma=sigma, method="chol")
colMeans(x)
var(x)
plot(x)

2.多元正态分布的累积概率、密度函数、分位数

与一元随机数类似，可以利用pmvnorm()计算累积概率
用法格式：
pmvnorm(lower=-Inf, upper=Inf, mean=rep(0, length(lower)),
corr=NULL, sigma=NULL)
lower 是求累积概率的下限，默认为负无穷
upper 是求累积概率的上限，默认为正无穷
mean 是多元正态分布的均值向量
corr 是多元正态分布的相关系数矩阵
sigma 是协方差矩阵
其中，相关系数corr和协方差矩阵sigma只要知道一个即可。

**例：**求
五元正态分布随机数的均值为0，相关系数矩阵为
c(1,0.5,0.5,0.5,0.5,
0.5,1,0.5,0.5,0.5,
0.5,0.5,1,0.5,0.5,
0.5,0.5,0.5,1,0.5,
0.5,0.5,0.5,0.5,1)
下限为（-1,-1,-1,-1,-1），上限为（3,3,3,3,3）的累积概率。dig单位矩阵

(mean <- rep(0, 5))#均值向量
(lower <- rep(-1, 5))#下限
(upper <- rep(3, 5))#上限
(corr <- diag(5))#相关系数矩阵（5阶单位矩阵）
corr[lower.tri(corr)] <- 0.5 #下三角用0.5赋值
corr[upper.tri(corr)] <- 0.5 #上三角用0.5赋值
corr
(prob <- pmvnorm(lower, upper, mean, corr))

误差为：0.00028
正常运行
**同理，**可以用dmvnorm()求多元正态分布的密度函数
用qmvnorm()求多元正态分布的分位数。

3.多元t分布随机数

多元t分布随机数，可以利用mvtnorm包中的rmvt()函数
用法：
rmvt(n, sigma = diag(2), df = 1)
n是需要生成的随机数个数
sigma 是事先给定的协方差矩阵
df 是t分布的自由度，默认为1.

library(mvtnorm)
x <- rmvt(n=100, sigma = diag(2), df = 3)
x
plot(x)#画二元t分布随机数x的散点图sigma=diag(2)+1
sigma
x2 <- rmvt(n=1000,df=5,sigma=sigma)
head(x2)
plot(x2)

三、随机抽样sample

1.放回与无放回抽样

利用R进行抽样很简单，运用sample()函数即可，语法结构如下：
sample(x, n, replace = FALSE, prob = NULL)
x表示总体向量（数值、字符、逻辑向量均可）
n表示样本容量
replace=F,表示无放回抽样（默认）；replace=T，表示有放回抽样
prob，可以设置各个抽样单元不同的入样概率，进行不等概率抽样。

**例1：**利用R模拟抛一枚硬币，H表示正面，T表示背面，重复抛10次的情况。
**例2：**模拟抛一枚六面的骰子，重复抛10次。
**例3：**模拟从100个产品中无放回随机抽取10个。
**例4：**模拟：抛两颗六面的骰子，抛10次。

# 例1：利用R模拟抛一枚硬币，H表示正面，T表示背面，重复抛10次的情况。
sample(c("H","T"),10,rep=T)# 例2：模拟抛一枚六面的骰子，重复抛10次
sample(1:6,10,rep=T)# 例3：模拟从100个产品中无放回随机抽取10个
sample(100,10,replace = F)
sample(100,10)sample(100,10,replace = T)#有放回

**例4：**模拟：抛两颗六面的骰子，抛10次
先给出抽样的总体：
(dice=as.vector(outer(1:6,1:6,paste)))
以上命令表示，抛两颗六面的骰子的可能结果。
outer(a,b,function)中，function为空时，表示a,b两个向量的外积，等价于a%o%b
outer(1:6,1:6,paste)中，function为paste，表示a中的第一个元素与b中的每一个元素分别组合，组成第一行；接着a中的第二个元素与b中的每个元素分别组合，组成第2行，这样直到a中的最后一个元素组合完毕。
outer(1:6,1:6,paste)的结果是一个矩阵形式，as.vector()表示强制将()里面的对象转换为向量形式。
sample(dice,10,replace=T)

2.重抽样

bootstrap重抽样，属于重复抽样方法。
基本思想：
在原始数据的范围内做有放回的再抽样，样本量仍为n，原始数据中每个观测单位每次
被抽中的概率相等，为1/n，所得的样本称为bootstrap样本。
R内置数据faithful中的"eruptions（喷发）"变量，用于记录火山喷发时间，属于不常见的分布。
下面对"eruptions（喷发）"变量数据进行bootstrap重抽样：


data(faithful)#读入数据
faithful
head(faithful)
attach(faithful)
sample(eruptions,10,rep=T) #从数据中抽一个样本量为10的子样本     Sample=sample(eruptions,272,rep=T) #从数据中抽一个样本量为272的子样本
Samplepar(mfrow=c(1,2))#设置作图窗口为1行2列
hist(eruptions,breaks=25)
hist(Sample,breaks=25);
# 从两个直方图可以看出，两个图形比较接近。par(mfrow=c(1,1)) #设置作图窗口为一行一列detach() #解除数据绑定

四、统计模拟

几种常见的模拟方法

1. 二项分布模拟中心极限定理

设x~B(n,p),则X的标准化变量 y=(Z-np)/((np(1-p))^(1/2))
当n趋于无穷大时，y的分布依概率收敛于标准正态分布。
下面利用统计模拟方法检验该定理的正确性。
首先生成二项分布随机数的标准化变量

n=10;p=0.25
x=rbinom(1,n,p) #生成1个服从参数为n,p的二项分布随机数
y=(x-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) #对x进行标准化
y

这只是一个随机数标准化后的结果，需要产生很多随机数并观察它们的分布情况。
比如产生1000个这样的随机数：

m =1000 # 模拟次数
n=100; p=0.25
b=rbinom(m,n,p) # 产生1000个随机数
x=(b-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))  # 标准化
hist(x,prob=T,main=paste("n =",n))
curve(dnorm(x),add=T,col=2) # 添加正态曲线m =100
n = 10; p = 0.25
z = rbinom(m,n,p)
x = (z-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))
hist(x,prob=T,breaks=20,main=paste("n =",n))
curve(dnorm(x),add=T)

2.利用函数进行模拟

在上面的模拟例子中，指定了模拟次数m,样本量n，概率p。
如果要改变这些参数重新模拟，会显得比较麻烦，可以考虑写成一个模拟函数进行模型。

sim.clt <- function (m=100,n=10,p=0.25)
{ z = rbinom(m,n,p)               x = (z-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))        hist(x,prob=T,breaks=20,main=paste("n =",n,"p =",p))curve(dnorm(x),-4,4,add=T,col=2)
}par(mfrow=c(2,2))
sim.clt() # 默认m=100,n=10,p=0.25
sim.clt(1000,100)
sim.clt(1000,1000)
sim.clt(1000,10000)
par(mfrow=c(1,1))

3.正态概率模拟

par(mfrow=c(2,2))
x=rnorm(100,0,1)
qqnorm(x,main="N(0,1)")
qqline(x)
x=rnorm(100,10,25);qqnorm(x,main="N(10,25)");qqline(x)
x=rexp(100,1/10);qqnorm(x,main="exp(0.1)");qqline(x)
x=runif(100,0,1);qqnorm(x,main="U(0,1)");qqline(x)
par(mfrow=c(1,1))

4.模拟函数的建立方法

sim.fun <- function (m,f,...)
{sample <- 1:mfor (i in 1:m) {sample[i] <- f(...)}sample
}f <- function (n=10,p=0.5) {S = rbinom(1,10,p)(S- n*p)/sqrt(n*p*(1-p) )
}
x=sim.fun(1000,f(n=1000))
hist(x,prob=T)f1=function(n=10) (mean(runif(n))-1/2)/(1/sqrt(12*n))
x=sim.fun(1000,f1(n=1000))
hist(x,prob=T,main="n=1000")
curve(dnorm(x),-4,4,add=T,col=2)
#lines(dnorm(x))   f <- function(n=100,mu=10) (mean(rexp(n,1/mu))-mu)/(mu/sqrt(n))
x=sim.fun(10,f)f2 <- function(n=10,mu=0,sigma=1){r=rnorm(n,mu,sigma)(mean(r)-mu)/(sigma/sqrt(n))
}
x = sim.fun(1000,f2)
hist(x,breaks=10,prob=T)x = sim.fun(1000,f,30,5,2)
hist(x,breaks=10,prob=T)f <- function(n,mu=10)(mean(rexp(n,1/mu)-mu))/(mu/sqrt(n))
x=seq(-3,3,0.01)
par(mfrow=c(2,2))
hist(sim.fun(100,f,1,10),prob=T,main="n=1")
points(x,dnorm(x,0,1),type="l")
hist(sim.fun(100,f,5,10),prob=T,main="n=5")
points(x,dnorm(x,0,1),type="l")
hist(sim.fun(100,f,30,10),prob=T,main="n=30")
points(x,dnorm(x,0,1),type="l")
hist(sim.fun(100,f,100,10),prob=T,main="n=100")
points(x,dnorm(x,0,1),type="l")
par(mfrow=c(1,1))

参考教材：《R数据分析方法与案例详解》

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