Millionaire-白书-概率dp

学了，记录下

你被邀请到某个电视节目中去玩下面这个游戏。一开始你有x元钱，接着进行m轮赌博，每一轮，可以将所持的任意一部分作为赌注，赌注不光可以是整数，也可以是小数，一分钱不押或全押都没有关系，每一轮都有p的概率可以赢，赢了赌注就好翻倍，输了赌注就没了，如果你最后有100万以上的钱的话，就可以把钱带回家。请计算当你采取最优策略时，获得100万以上的钱并带回家的概率。 0<=p<=1.0，1<=1<=1000000，1<=m<=15 样例输入： M，p, x 输入：1 0.5 500000 输出 0.500000（一开始九全押上）输入： 3，0.75 600000 输出0.843750

先计算样例：

从60000中拿出2500，如果赢了，再拿出75，可以两轮赢0.75*0.75 ，要是第二轮输了，三轮赢全堵上赢0.75*0.25*0.75

或者第一轮输了，后面两轮全赢。三轮赢0.25*0.75*0.75。

白书解析：对于赌博，因为每次都能下注的金额是无限种可能的，所以，要将无限化有限（化连续为离散）

对于最后一次赌博：

1. 本金>= 1000 000 概率为1（直接就走了）

2. 本金>=5000 00 概率为P（赢了有，输了没）

3. 本金<5000 00 概率为0 （不管输赢都没有1000 000）

最后两轮：

1.本金 >=1000 000 概率为1

2. 本金 >=7500 00 概率为：P*P（两次都输才会输2500 00+5000 00）

3. 本金 >=5000 00 概率为：P（赢一次直接走，输了必定不可能到1000 000）

4. 本金 >=2500 00 概率为：（1-P）*（1-P）必须两次都赢

5. 本金 <2500 00 概率为：0 别想了 . . . .

某个范围内，即使所持的钱数不同，最后可以带钱回家的概率也是相同的

M轮考虑 2^M+1 种情况。因此将金额进行离散化分段处理。

设dp[r+1][i]为进行到第r+1轮，现有i段钱能赢得百万的概率？那什么是最优策略呢？在第r轮要对拿出多少去赌好呢？。

不知道要拿多少，那我们枚举吧，假设r轮要拿出j个段钱去赌

那么dp[r+1][i]=max(dp[r][i+j]*p+dp[r][i-j]*(1-p)) j=min( i,n-i);

因为i+j<=n;i-j>=0; 所以 j<=i,j<n-i;

所以最后的答案就是dp[M][X所在的段]

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;typedef long long ll;
const int MAXN = 15;double dp[18][(1<<MAXN)+1];//dp[i][j]代表在运行了i伦的情况下有钱数j获胜的概率
int main(){int M,X;double P;scanf("%d %lf %d",&M,&P,&X);int n = 1<<M; dp[0][n] = 1.0;  int m=(ll)X*n/1e6;for(int r=0;r<M;r++){           //r是赌博的轮数，0代表还没开始，M代表最后for(int i=0;i<=n;i++){      //i是情况序号，代表百万数据的 i/2^m int step = min(i,n-i);double t =0.0;int pt;for(int j=0;j<=step;j++){//从i个钱中拿出j个去赌，赢了后变i+j个，输了变i-j个，从中中出最优划分。 // if(t<dp[r][i+j]*P+dp[r][i-j]*(1-P))t=dp[r][i+j]*P+dp[r][i-j]*(1-P),pt=j; 观察最优策略 dp[r+1][i] =max(dp[r+1][i],dp[r][i+j]*P+dp[r][i-j]*(1-P)) ; }cout<<"dp["<<r+1<<"]["<<i<<"]="<<dp[r+1][i]<<"="<<dp[r][i+pt]<<"*"<<P<<"+ "<<dp[r][i-pt]<<"*"<<(1-P)<<","<<pt<<endl;}} printf("%.6f\n",dp[M][m]);return 0;
}

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