Shader学习（9）法线和切线空间的定义和变换演示
不如醉里风吹尽，又是一天未学习。西山日下雨足稀，又是一周未学习。垂死病中惊坐起，又是一月未学习
最近迷上了骑砍，游戏一玩啥都不管，做什么事都意兴阑珊。
一、法线的概念
三维模型是用一个一个的点构成的，在前面的各种空间变换中，对顶点的位置信息进行了各种计算，但是要想构成一个模型光知道顶点的位置信息是不够的，有一个问题就是，如果我们用几个点构成了一个平面之后，我们该怎么确定哪一面是平面的正面？
法线就是为了确定模型的正面是朝向哪里而存在的。法线（normal）是定义一个点的朝向的信息，它是一个矢量信息，所以也被称为法矢量（normal vector）。当我们变换一个模型的时候，也必须要变换模型的顶点法线，用来在后续的渲染步骤中计算光照，法线可以说是shader中最重要的信息之一，法线出错会导致各种奇怪的显示问题。而如果利用好法线，则可以在shader中实现各种炫酷的效果。
在大部分建模软件当中都可以调出模型的法线信息查看，法线在maya中的显示效果如下：
模型上那些像刺猬一样的线就是顶点法线的显示。
法线有一个特殊的空间为切线空间，切线矢量（tangent vector）也是顶点带有的一个信息。构成一个三维坐标空间的要素是原点和三个互相垂直的矢量。每个顶点有其自身的切线空间，也就是说每个顶点都是自身切线空间的原点，而法线这个矢量就是它的切线空间的Z轴。它的X轴和Y轴是怎么定义的？
在理解切线空间之前必须先理解一下纹理空间，如果想要把一张图片贴到3D模型上面，就必须要把模型的每个位置对应到图片上，等于是把一个物体的皮扒下来展平在图片上。这个图片所在的空间就是纹理空间，纹理空间是一个二维空间，每一个三维模型的顶点都在纹理空间有一个确定的坐标。
在切线空间中，原点就是顶点本身，Z轴就是顶点的法线，X轴和Y轴就是Z轴的两条切线，但是Z轴的切线其实是有无数条的，要如何确定我们要的切线是哪两根切线？一般来说切线空间的Y轴要和纹理空间的Y轴对齐，如上图。而X轴则是由已知的Z轴和Y轴的叉积求出的。
上图示意了当三维模型的UV映射在纹理空间出现变化之后，模型每个点的切线如何变化。
二、法线的变换
一般来说，一个坐标空间下的点可以用同一个4x4变换矩阵变换到另一个坐标空间，一个坐标空间下的绝大部分方向矢量都可以用同一个3x3的变换矩阵来变换坐标空间。比如模型的一个轴向是一个矢量信息，而一个平行光的光照方向也是一个矢量信息，这两个信息在从世界空间变换到摄像机空间的时候，就可以使用同一个变换矩阵来变换。很多时候点和矢量的变换矩阵是相同的，只是点收到平移影响，所以使用4x4变换矩阵，而矢量只需要3x3变换矩阵。对点和切线进行变换时使用的就是同一个矩阵，但是在变换法线的时候则不能和顶点使用同一个矩阵，因为有可能会破坏法线的垂直性。
我们对法线的要求是不论处于任何空间之时，它必须与模型表面垂直，不能随便乱指。空间坐标的变换矩阵影响力就太强，除了平移旋转还有缩放，用过的人都觉得很伤。变换空间时如果是统一缩放，那么最后的效果一切正常，如果有一个轴不能坚定立场，整个模型就像是放错了地方。
此处祭出法宝书，借一张图示意这个效果。
可见空间变换矩阵不仅拉长了你的点，还拉长了你的边。就算是一条矢量，也要把你拉长。
与顶点相同的变换矩阵不能用，吓得我这个学渣不敢动，推导真正的法线变换矩阵的过程知识量太重，越看觉得越发头痛。首先，在坐标空间A中一个点a的法线Na必须要和切线Ta垂直，所以Na和Ta点积的结果为0 。给定点a从坐标空间A变换到坐标空间B的变换矩阵M a->b ，我们已经知道点a的切线Ta和点a使用同一个变换矩阵，所以Ta和M a->b 进行叉积得到在坐标空间B中的切线T b 。
有了坐标空间B中的切线T b以后，就可以找出和T b 的叉积为0（也就是互相垂直）的法线Nb了。
我们想要找到一个矩阵G来直接变换法线Na ，要求得出的结果就是那个和切线T b相垂直的N b 。这个式子可以写成：
在矩阵乘法中有这样一条定律：a·b=（a^T）* b，这里的a^T指示矩阵a的转置。所以有：
又因为定律：
所以：
再根据矩阵乘法的结合律，可以得出：
再根据：“a·b=（a^T）* b，这里的a^T指示矩阵a的转置。”可以得出：
因为Ta 和Na的点积结果为0 ，所以上面式子中的(M a->b ^T ) *G = I 。
根据上面的推导，可以得出结论：使用原变换矩阵的逆转置矩阵来变换法线就可以得到正确的结果。
求变换法线的矩阵G又有几种不同的情景：
原变换矩阵只包含旋转变换，那么这个变换矩阵就是正交矩阵，根据定律：正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵。可以知道G就是原变换矩阵。所以可以直接使用原变换矩阵对法线进行变换。
变换只包含旋转和统一缩放，则只需要与缩放值k进行计算 ： （1/k）Ma->b 来得出法线变换矩阵G。
变换中包含了非统一缩放，那就必须要老老实实求解逆矩阵来得出G。
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