数学建模-马尔萨斯人口问题

问题的提出
马尔萨斯人口模型
逻辑回归模型

1.问题的提出

马尔萨斯人口问题是对群体增长的预测，由马尔萨斯提出，同时他还写了一本关于人口增长的书，整本书的研究均像欧几里得研究几何学一样，采用公理化来研究，他提出的两条基本公理为：

食物为人类生存所必需
两性间的情欲是必然的，且会保持现状。

由此，我们可以建立对应的研究对象：

t→P(t)

t \rightarrow P(t)其中t代表时间， P（t）P（t）代表时刻t的人口，我们认为人口虽时间变化，当然它肯定还受其他多方面的因素影响，这只是我们对这个问题的简化。

我们希望达到的目标有两个：

预测未来的某一t时刻的人口有多少？
当t→∞t \rightarrow \infty，人口有多少？
这是我们的问题，如何解决呢？

2.马尔萨斯人口模型

高尔斯在《数学》中也谈到了这个问题，人口可以表示成一个数对：

(t,P(t))

(t,P(t))其中t代表时刻， P(t)P(t)代表了时刻t的人口。另外我们用b,d表示出生率和死亡率。
如果2002年的总人口是p，那2002年的出生人数和死亡人数就是bp,dp，因此2003年的总人数为：

p+bp−dp=(1+b−d)p=(1+r)p

p + bp - dp = (1 + b - d)p = (1 + r )p这样的计算，是属于离散的模型，因为时间的跨度是一年，但人口的出生和死亡在不同时刻都有，为了把它变成连续的模型，我们借助积分的思想，计算一下在某一小段时间内，人口的增长情况，可以有：

P(t+∇t)−P(t)=rP(t)∇t

P(t + \nabla t) - P(t) = rP(t)\nabla t在 ∇t\nabla t这段时间内的人口增长为：

增长率 X t时刻的人口 X 时间

增长率\ \ \ X\ \ \ t时刻的人口\ \ \ X\ \ \ 时间把 ∇t\nabla t除过来：

P(t+∇t)−P(t)∇t=rP(t)

\frac{P(t + \nabla t) - P(t)}{\nabla t} = r P(t)取极限了令 ∇t→0\nabla t \rightarrow 0就可以得到微分方程：

dP(t)dt=rP(t)

\frac{dP(t)}{dt} = r P(t)假设初始时刻 t0t_0的人口为 P(t0)P(t_0),使用分离变量法求解微分方程的处置问题，可得：

dP(t)P(t)=r dt→∫tt0dP(t)P(t)=∫tt0r dt

\frac{dP(t)}{P(t)} = r\ dt \rightarrow \int_{t_0}^t \frac{dP(t)}{P(t)} = \int_{t_0}^t r\ dt化简求解得：

P(t)=P(t0)er(t−t0)

P(t) = P({t_0})e^{r(t-t_0)}如果使用这个函数来描述人口增长的话，人口是呈指数增长的，因此马尔萨斯说我们要加以控制人口。

然后用这个模型来回答我们的两个问题：

如果要预测的话，直接把这个时刻t代进去，就可以预测了
当t趋于无穷时，人口也趋于无穷

得到这样的模型之后，马尔萨斯使用当时的英国人口数据来验证，发现那时候的人口确实呈指数增长的。

通过这个小案列，我们发现数学建模其实是一个循环的过程，表示如下：

我们在现实生活中得到一个问题，然后然后把它表示成数学表达式，将这个表达式作为我们的研究对象，然后使用一系列数学理论知识求解这个表达式，得到问题的解决方案。然后再把解决方案和现实的问题比对，不断改进，迭代模型，这就是所谓的研究。

3.逻辑回归模型

由马尔萨斯人口模型，我们发现在当时确实被认为是正确的，但是在今天是否还在适用呢？显然这个模型是不再适用了的，我们人口增长，或者说种群的增长是存在一个阀值的，因为增长率不是一直固定不变的，那我们该怎么描述这个增长率的变化呢？假设增长率是随时间变化的，我们可以把增长率描述成一个关于t的函数：

r(t)=r(P(t))=(1−P(t)K)

r(t) = r(P(t)) = (1 - \frac{P(t)}{K})它是通过人口的变化而变化的,且存在一个阀值K，使得

dPdt=rP(1−NK)

\frac{dP}{dt} = rP(1 - \frac{N}{K})

更加详细的关于逻辑回归解释可以参考这篇文章：【机器学习系列之二】逻辑回归（LR,Logistic Regression）这篇主要从机器学习的应用出发讲解的，较为详细。

这个模型事实上是连续的，因为∇t→0\nabla t\rightarrow 0,如果我们把这个微分方程离散化，变成差分方程可以写成：

∇N∇t=rN(1−NK)

\frac{\nabla N}{\nabla t} = rN(1 - \frac{N}{K})假如把离散步长直接设成1，可以有：

∇N=Nt+1−Nt,∇t=1

\nabla N = N_{t+1} - N_t,\nabla t =1化简可得：

Nt+1−Nt=rN(1−NK)

N_{t+1} - N_t = rN(1 - \frac{N}{K})即：

Nt+1=(1+r)Nt−rKN2t

N_{t+1} = (1+r)N_t - \frac{r}{K}N_t^2 假如我们从数学的问题出发，取定K，改变r，看一下这个差分方程会有什么变化呢？

所以当r非常小的时候，是趋于稳态的，当r在慢慢变大之后，开始呈现周期性，而且r越大，周期的越长，放大这个尺度，如图所示：

当r一开始时，它是一个稳态，然后变成了一个2周期解，然后变成4周期，8，16周期的，整个现象我们称为倍周期的。同时，对最后这种很特别的现象，我们称之为混沌。

再回想一下我们对逻辑回归的整个探讨过程，我们先从原来的人口模型中，增加更多的变量，考虑更多的东西，然后得到逻辑回归模型，然后把逻辑回归的方程变成差分方程，然后用纯数学的方法来探讨这个方程有什么样的性质，这其实就是一个研究的过程。

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