在单位波长与单位频率意义下的能量密度的转换

一种基于密度函数定义的思路

一种基于密度函数定义的思路

在黑体辐射的普朗克公式中，描述了在单位频率意义下的辐射能量密度，即：
ρν(ν,T)=8πhν3c31exp(hνkBT)−1\rho_\nu(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{1}{\mathtt{exp}(\frac{h\nu}{k_BT})-1} ρν(ν,T)=c38πhν3exp(kBThν)−11
某些情况下，需要将其转化为单位波长意义下的能量密度，一种错误的变换方法是：
ρλ(λ,T)=ρν(cλ,T)\rho_\lambda(\lambda,T)=\rho_\nu(\frac{c}{\lambda},T) ρλ(λ,T)=ρν(λc,T)
注意，由于密度函数涉及到能量对空间的微分，因而在不同空间下，密度函数并不相同。此处的问题相当于求解在以下空间变换下对应的能量密度函数：
λ=cν\lambda=\frac{c}{\nu} λ=νc
此处结合密度函数的定义进行恒等变换。
定义能量的分布函数在两种空间下分别为：
Fν(ν,T)=∫0νρν(ν,T)dνFλ(λ,T)=∫0λρλ(λ,T)dλF_\nu(\nu,T)=\int_0^\nu \rho_\nu(\nu,T)\mathtt{d}\nu\\ F_\lambda(\lambda,T)=\int_0^\lambda\rho_\lambda(\lambda,T)\mathtt{d}\lambda Fν(ν,T)=∫0νρν(ν,T)dνFλ(λ,T)=∫0λρλ(λ,T)dλ
在两种空间下分别选取一小段波段，使得两种空间下的波段端点满足以下映射：
ν→λ+dλν+dν→λ\nu\rightarrow\lambda+\mathtt{d}\lambda\\ \nu+\mathtt{d}\nu\rightarrow\lambda ν→λ+dλν+dν→λ
注意，两个空间的正方向是恰好相反的。以上映射的出发点是保证微元的选取为正值。
由于实际上这是两种空间下描述的同一段波段，其能量是一致的，因而有：
Fλ(λ+dλ,T)−Fλ(λ,T)=Fν(ν,T)−Fν(ν+dν,T){F_\lambda(\lambda+d\lambda,T)-F_\lambda(\lambda,T)}={F_\nu(\nu,T)-F_\nu(\nu+d\nu,T)}\\ Fλ(λ+dλ,T)−Fλ(λ,T)=Fν(ν,T)−Fν(ν+dν,T)
对于两个微元，有
dλ=d(cν)=−cν2dν\mathtt{d}\lambda=\mathtt{d}(\frac{c}{\nu})=-\frac{c}{\nu^2}\mathtt{d}\nu dλ=d(νc)=−ν2cdν
由于：
−cν2<0-\frac{c}{\nu^2}<0 −ν2c<0
因而当：
dλ→0\mathtt{d}\lambda\rightarrow0 dλ→0
时，显然有：
dν→0{d}\nu\rightarrow0 dν→0
显然，密度函数满足：
ρλ=lim⁡dλ→0Fλ(λ+dλ,T)−Fλ(λ,T)dλ=lim⁡dν→0Fν(ν,T)−Fν(ν+dν,T)dνdνdλ=−ρνdνdλ\begin{aligned} \rho_\lambda&=\lim_{d\lambda\rightarrow0}\frac{F_\lambda(\lambda+d\lambda,T)-F_\lambda(\lambda,T)}{d\lambda}\\&=\lim_{d\nu\rightarrow0}\frac{F_\nu(\nu,T)-F_\nu(\nu+d\nu,T)}{d\nu}\frac{d\nu}{d\lambda}\\&=-\rho_\nu\frac{d\nu}{d\lambda} \end{aligned} ρλ=dλ→0limdλFλ(λ+dλ,T)−Fλ(λ,T)=dν→0limdνFν(ν,T)−Fν(ν+dν,T)dλdν=−ρνdλdν
因而可以得到单位波长意义下的能量密度为：
ρλ(λ,T)=−ρν(cλ,T)ddλ(cλ)\rho_\lambda(\lambda,T)=-\rho_\nu(\frac{c}{\lambda},T)\frac{\mathtt{d}}{\mathtt{d}\lambda}(\frac{c}{\lambda}) ρλ(λ,T)=−ρν(λc,T)dλd(λc)
再代入普朗克公式即可。

在单位波长与单位频率意义下的能量密度的转换相关推荐

CAD中插入外部参照字体会变繁体_一次性解决CAD单位问题再也不会有下一篇了...
CAD关于单位的问题,目测已经有不少于300位小伙伴提问过了,今天一次性把CAD关于单位的问题说清楚,估计不会有下一篇文章啦,大家看到觉得有用的不妨先收藏一下. 在CAD软件中新建图纸文件的时候,会让 ...
matlab功率谱密度单位,功率谱密度的工程单位和国际制单位
工程单位:瓦特数(W/Hz):国际制单位:m²/s³ 在物理学中,信号通常是波的形式表示,例如电磁波.随机振动或者声波.当波的功率频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率,这被称为信号 ...
单位脉冲信号与单位冲激信号的区别
以下内容来自自己回答的zhihu,zhihu已经注销,所以记录到本博客中进行备份. @湛蓝的定义与教科书中写得非常一致,分别是来自: <信号与系统>-上册-第三版-郑君里 <自动控制 ...
html5里面em是什么单位,HTML5中单位em的理解
相关链接 em何意? 它是描述相对于应用在当前元素的字体尺寸,所以它也是相对长度单位.一般浏览器字体大小默认为16px,则2em == 32px: 1em=元素中文本的1个垂直高度如果元素中文本的大 ...
HTML语言中Em单位,HTML5中单位em的理解
相关链接 em何意? 它是描述相对于应用在当前元素的字体尺寸,所以它也是相对长度单位.一般浏览器字体大小默认为16px,则2em == 32px: 1em=元素中文本的1个垂直高度如果元素中文本的大 ...
单位冲激响应和单位阶跃响应
请参考: 计算下式的单位冲激响应和单位阶跃响应: y(n)+0.7y(n-1)-0.45y(n-2)-0.6y(n-3)=0.8x(n)-0.44x(n-1)+0.36x(n-2)+0.02x(n-3 ...
【数字信号处理】基本序列 ( 基本序列列举 | 单位脉冲序列 | 单位脉冲函数 | 离散单位脉冲函数 | 单位脉冲函数与离散单位脉冲函数的区别 )
文章目录一.基本序列列举二.单位脉冲序列 1.单位脉冲函数 2.离散单位脉冲函数 3.单位脉冲函数与离散单位脉冲函数的区别一.基本序列列举基本序列有单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列 ...
模意义下的FFT算法
//写在前面单就FFT算法来说的话,下面只给出个人认为比较重要的推导,详细的介绍可参考 FFT算法学习笔记令v[n]是长度为2N的实序列,V[k]表示该实序列的2N点DFT.定义两个长度为N的实序 ...
html百分比单位,视窗单位 vs 百分比单位
在我的关于CSS字体大小的文章中,我写了关于(相对的)新的视窗单位.这些单位vw,vh,vmin,和vmax都是基于浏览器视窗(Viewport)的大小的.因为它们的实际大小是根据视窗(Viewpor ...

在单位波长与单位频率意义下的能量密度的转换