[BZOJ1233][Usaco2009Open]干草堆tower（单调队列优化）

传送门

题意搞skr人…，其实就是堆方块：
有n(n<=100000)个干草,每堆有个宽度，现在要且分成若干段，把每一段的干草按顺序堆起来形成一个多层的干草堆（所以下标越小的干草堆放在越下面）且宽度要逐层非严格递减（上面一层的宽度<=下面一层的宽度），求最多可以放多少层。

好神啊这题。。

题意看起来不复杂，所以我们很容易想到一个贪心：
从上往下倒着考虑，假设我们已经知道上面一层的宽度为w，那么下面一层的最优的策略一定是的大于等于w的宽度和中最靠近w的。

想出贪心之后我们需要证明他的正确性，但是也可以证明贪心是错的：
在bzoj该题的Discuss下id为thy的大佬已经举出了一个例子证明贪心是错的：

ex:
16
6 1 1 1 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 6
贪心：
6
111116
111161116
最优：
6111
1161
1116
1116
为什么是错的呢？
因为第i层可以帮第i+1层分担一些宽度，使得i+2层压力更小

但是我们可以在证明贪心是错误的过程中模糊地猜到一个结论：
假如该问题的一个解是最优解，那么它的最底层宽度一定最小。

这个结论有没有用我们现在还不知道，但是zory左老师有言：

每一个题目肯定有每一个题目的特质，肯定要抓住这个特质来解题。

为啥，因为最底层最小可以让干草堆叠的尽量的高嘛…

然后我们往dp去想，设列一个初级dp方程：
设f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示用前i包干草，且当前层用的是第j包到第i包所能达到的最大高度。
则f[i][j]=max{f[j−1][k]}+1(sum[i]−sum[j−1]≤sum[j−1]−sum[k−1],k<j≤i)f[i][j]=max\lbrace f[j-1][k]\rbrace+1(sum[i]-sum[j-1] \leq sum[j-1]-sum[k-1],k<j\leq i)f[i][j]=max{f[j−1][k]}+1(sum[i]−sum[j−1]≤sum[j−1]−sum[k−1],k<j≤i)
我们发现这个方程的时间复杂度为O(N3)O(N^3)O(N3)，空间复杂度为O(N2)O(N^2)O(N2)，实在是太太太大了。

我们尝试优化这个方程，但是我们发现无法优化时空都到O(N)O(N)O(N)的级别。这时候我们从结论入手，设列一个新的dp方程，且可以优化到O(N)O(N)O(N)级别。

结合贪心的思路尝试倒推：
设
f[i]f[i]f[i]为用i~n来构成的干草堆，底层最短是多少
g[i]g[i]g[i]表示状态f[i]的最大高度
则
f[i]=min{sum[j−1]−sum[i−1]}(i<j≤n,f[j]≤sum[j−1]−sum[i−1])f[i]=min\lbrace sum[j-1]-sum[i-1]\rbrace(i<j\leq n,\ \ \ f[j] \leq sum[j-1]-sum[i-1])f[i]=min{sum[j−1]−sum[i−1]}(i<j≤n, f[j]≤sum[j−1]−sum[i−1])
g[i]=g[j]+1g[i]=g[j]+1g[i]=g[j]+1

由于sum[i]具有单调性，所以我们从单调性开始着手使用单调队列优化d的套路：
在转移方程中可以得到：
f[i]f[i]f[i]从较小的jjj转移过来会更优秀，所以符合条件的jjj越小越好 —(1)

然后在判断式中可以看到：
f[j]≤sum[j−1]−sum[i−1]f[j] \leq sum[j-1]-sum[i-1]f[j]≤sum[j−1]−sum[i−1]
移项，把关于iii，jjj的分别移到两边
sum[i−1]≤sum[j−1]−f[j]sum[i-1] \leq sum[j-1]-f[j]sum[i−1]≤sum[j−1]−f[j]
那么我们又可以得到：
对于状态i的当前决策jjj，sum[j−1]−f[j]sum[j−1]−f[j]sum[j−1]−f[j]越大，可以作为决策的情况就越多，这样的j越有用。—(2)

所以我们有了两个分别关于下标和式子的单调条件(1)和(2)
所以我们设两个决策jjj，kkk满足k>jk>jk>j，且sum[k−1]−f[k]≤sum[j−1]−jf[j]sum[k-1]-f[k] \leq sum[j-1]-jf[j]sum[k−1]−f[k]≤sum[j−1]−jf[j]的话，k就是无用状态可以删去。

用单调队列维护即可，注意由于我们是倒推所以单调队列的head和tail要反过来（因为我们默认head<=tail）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
int a[N],sum[N];
int list[N],head,tail;
int f[N],g[N];
int main()
{int n;scanf("%d",&n);sum[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);sum[i]=sum[i-1]+a[i];}list[1]=n+1; head=tail=1; //注意由于倒序所以head和tail反过来 for(int i=n;i>=0;i--){while(head<tail && f[list[head+1]]<=sum[list[head+1]-1]-sum[i-1]) head++;int j=list[head];f[i]=sum[j-1]-sum[i-1];g[i]=g[j]+1;while(head<=tail && sum[i-1]-f[i]>=sum[list[tail]-1]-f[list[tail]]) tail--;list[++tail]=i;}printf("%d\n",g[1]);return 0;
}

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