柱状图中最大的矩形多种解法

一、前言

问题来源LeetCode 84，难度：困难

问题链接：https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/

二、题目

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

示例：

以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。

图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。

示例:

输入: [2,1,5,6,2,3]
输出: 10

三、思路

三种解法

3.1 方法一：暴力解法

从左往右遍历，每一个矩形
对于当前遍历的矩形，它包含它在内的最大矩形是，向右和向左分别找到第一个高度小于它的矩形，它们围起来的矩形即为最大矩形。
找到遍历中最大的矩形即为所求

上图输入为 : [5,7,8,10,4,4,5,7]

坐标0：高度5，左边没有大于或等于的矩形，右边到坐标3，面积：20 = 5*4

坐标1：高度7，左边没有大于或等于的矩形，右边到坐标3，面积：21 = 7*3

坐标2：高度8，左边没有大于或等于的矩形，右边到坐标3，面积：16 = 8*2

坐标3：高度10，左边没有大于或等于的矩形，右边没有，面积：10 = 10*1

坐标4：高度4，左边到坐标1，右边到坐标7，面积：32 = 4*8

坐标5：高度4，和上一个坐标5高度相等，最大面积也相等，不用计算

坐标6：高度5，左边没有，右边到坐标7，面积：10 = 5*2

坐标7：高度7，左边没有，右边没有，面积：7 = 7*1

最大面积为：32

复杂度分析

时间复杂度：O(n2)。
空间复杂度：O(1) 。不需要额外的空间。

3.2 方法二：分治法

通过观察，可以发现，最大面积矩形存在于以下几种情况：

确定了最矮柱子以后，矩形的宽尽可能往两边延伸。
在最矮柱子左边的最大面积矩形（子问题）。
在最矮柱子右边的最大面积矩形（子问题）。

上图输入为 : [5,7,8,10,4,4,5,7]

1.当前第一个最小高度为4（坐标4），最小高度最大矩形面积为 32 = 4*8。

2.矩形左边（坐标0-3）最大面积：15。

3.矩形右边（坐标6-7）最大面积：10。（备注：坐标5和坐标4相邻且高度相等，最大面积已经计算）

复杂度分析

时间复杂度：O(nlogn)。
空间复杂度：O(n) 。不需要额外的空间。

3.3 方法三：栈

方法一中是按照给定的矩形，向左右两边寻找至下一个小于它的高度。继续观察这个图发现当f(n) < f(n-1) 的时候，f(n)不再需要向右查找，只需要向左查找。那需要向左查找到什么时候为止呢？只需要保证左边为升序即可。以上图为例。

1. f(0) < f(1) < f(2) < f(3) , f(4) 不大于f(3)，往前寻找到小于f(4)为止，也就是当我们遍历到f(4) 时，已经可以确定 f(3)所包含的最大矩形面积：10 = 10*1

2. 接着往前寻找，f(2) > f(4)，f(2)包含的最大矩形面积可以确定：16 = 8*2

3. 接着往前寻找，f(1) > f(4)，f(1)包含的最大矩形面积可以确定：21 = 7*3

4. 接着往前寻找，f(0) > f(4)，f(0)包含的最大矩形面积可以确定：20 = 5*4

5. f(4) 是当前最小的高度，往前查找，f(5) 等于 f(4)，坐标5包含的最大矩形和坐标4包含的最大矩形，不用重复计算

6. f(6) > f(4)，f(7) > f(6) 继续往后搜索，已经到头了（可以在最后面添加高度为0的矩形）。往前搜索，

同理f(7)包含的最大矩形面积可以确定：7 = 7*1

f(6)包含的最大矩形面积可以确定：10 = 5*2

7. 现在只剩下 f(4)，剩下的最后一个即为高度最低的一个面积为 f(4) = 4*8

总结：

分析完我们发现，从左往右遍历，当f(n) > f(n-1)需要放入队列里面；当f(n) <= f(n-1)的时候，f(n-1)最大面积可以确认，f(n-1)离开队列，继续判断队列首元素，直至小于f(n)为止。我们可以用栈维持这个队列。栈中元素为坐标值。

复杂度分析

时间复杂度：O(n)。
空间复杂度：O(n) 。需要维持一个栈。

五、编码实现

//==========================================================================
/**
* @file : 84_LargestRectangleArea.h
* @title: 柱状图中最大的矩形
* @purpose : 给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。
*
* 示例:
*
* 输入:
* 输入: [2,1,5,6,2,3]
* 输出: 10
*
* 来源：力扣（LeetCode）
* 难度：困难
* 链接：https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/
*
*/
//==========================================================================
#pragma once#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>using namespace std;#define NAMESPACE_LARGESTRECTANGLEAREA namespace NAME_LARGESTRECTANGLEAREA {
#define NAMESPACE_LARGESTRECTANGLEAREAEND }
NAMESPACE_LARGESTRECTANGLEAREA// 解法一：暴力解决
// 复杂度分析
// 时间复杂度：O(n2)。
// 空间复杂度：O(1) 。不需要额外的空间。
//
// 执行用时 : 1836 ms, 在所有 C++ 提交中击败了 5.00 % 的用户
// 内存消耗 : 7.5 MB, 在所有 C++ 提交中击败了 100.00 % 的用户
class Solution_1
{
public:int largestRectangleArea(vector<int>& heights){int maxArea = 0;for (int i = 0; i < heights.size(); ++i){if (i > 0 && heights[i] == heights[i - 1]){// 如果和前面相等之前已经计算过continue;  }int wide = 1;// 向前搜索for (int j = i + 1; j < heights.size() && heights[j] >= heights[i]; ++j, ++wide);// 向后搜索for (int j = i - 1; j >= 0 && heights[j] >= heights[i]; --j, ++wide);maxArea = max(heights[i] * wide, maxArea);}return maxArea;}
};// 解法二：分治法
// 复杂度分析
// 时间复杂度：O(nlogn)。
//空间复杂度：O(n) 。不需要额外的空间。
//
// 执行用时: 632 ms, 在所有 C++ 提交中击败了 8.53 %的用户
// 内存消耗 : 14 MB, 在所有 C++ 提交中击败了 9.52 % 的用户
class Solution_2
{
public:int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {if (heights.empty()){return 0;}return largestRectangleArea(heights, 0, heights.size() - 1);}private:int largestRectangleArea(vector<int>& heights, int left, int right){if (left < 0 || right > heights.size()-1 || left > right){return 0;}if (left == right){return heights[left];}int minIndex = left;int minHeights = heights[left];for (int i = left; i <= right; ++i){if (heights[i] < minHeights ){// 找第一个最小值minHeights = heights[i];minIndex = i;}}// 最小高度，矩形面积int minHeightArea = (right - left + 1) * minHeights;// 搜索左边最大矩形面积int maxLeft = minIndex - 1;int maxAreaLeft = largestRectangleArea(heights, left, maxLeft);// 搜索右边最大矩形面积int minRight = minIndex + 1;for (int i = minIndex + 1; i <= right && heights[i] == heights[minIndex]; ++i, ++minRight);int maxAreaRight = largestRectangleArea(heights, minRight, right);return max(minHeightArea, max(maxAreaLeft, maxAreaRight));}
};// 解法3：栈
// 复杂度分析
// 时间复杂度：O(n)。
// 空间复杂度：O(n) 。需要维持一个栈。
//
// 执行用时: 16 ms, 在所有 C++ 提交中击败了 75.31%的用户
// 内存消耗 : 8.5 MB, 在所有 C++ 提交中击败了 100 % 的用户
class Solution_3
{
public:int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {stack<int> st;heights.push_back(0);//结尾虚拟柱子高度0int size = heights.size();int res = 0;for (int i = 0; i < size; ++i) {while (!st.empty() && heights[st.top()] >= heights[i]) {int val = st.top();st.pop();res = max(res, heights[val] * (st.empty() ? i : (i - st.top() - 1)));//宽度不包含当前元素}st.push(i);}return res;}
};以下为测试代码//
// 测试 用例 START
void test(const char* testName, vector<int>& heights, int expect)
{Solution_1 s1;Solution_2 s2;Solution_3 s3;int result1 = s1.largestRectangleArea(heights);int result2 = s2.largestRectangleArea(heights);int result3 = s3.largestRectangleArea(heights);if (expect == result1 && expect == result2 && expect == result3){cout << testName << ", solution passed." << endl;}else{cout << testName << ", solution failed. result1: " << result1 << ",result2: " << result2 << ",result3: " << result3 << endl;}
}void Test1()
{vector<int> heights;int expect = 0;test("Test1()", heights, expect);
}void Test2()
{vector<int> heights = { 1 };int expect = 1;test("Test2()", heights, expect);
}void Test3()
{vector<int> heights = { 0, 9 };int expect = 9;test("Test3()", heights, expect);
}void Test4()
{vector<int> heights = { 9, 0 };int expect = 9;test("Test4()", heights, expect);
}void Test5()
{vector<int> heights = { 1, 2, 3, 4, 5 };int expect = 9;test("Test5()", heights, expect);
}void Test6()
{vector<int> heights = { 5, 4, 3, 2, 1 };int expect = 9;test("Test6()", heights, expect);
}void Test7()
{vector<int> heights = { 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 };int expect = 15;test("Test7()", heights, expect);
}void Test8()
{vector<int> heights = { 2, 1, 5, 6, 2, 3 };int expect = 10;test("Test8()", heights, expect);
}NAMESPACE_LARGESTRECTANGLEAREAEND
// 测试 用例 END
//void LargestRectangleArea_Test()
{NAME_LARGESTRECTANGLEAREA::Test1();NAME_LARGESTRECTANGLEAREA::Test2();NAME_LARGESTRECTANGLEAREA::Test3();NAME_LARGESTRECTANGLEAREA::Test4();NAME_LARGESTRECTANGLEAREA::Test5();NAME_LARGESTRECTANGLEAREA::Test6();NAME_LARGESTRECTANGLEAREA::Test7();
}

执行结果：