标准差分母是n和n-1的区别(有偏估计与无偏估计)

中学时学习的标准差定义为
s=[(x1−x)2+(x2−x)2+......(xn−x)2]/ns=\sqrt{[(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+......(x_n-x)^2]/n}s=[(x1−x)2+(x2−x)2+......(xn−x)2]/n
某些统计类的书籍提到上面是样本的有偏估计，而无偏估计的标准差定义为
s=[(x1−x)2+(x2−x)2+......(xn−x)2]/(n−1)s=\sqrt{[(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+......(x_n-x)^2]/(n-1)}s=[(x1−x)2+(x2−x)2+......(xn−x)2]/(n−1)
其中分母是n，因为这里的n的意义是总体数量。而在实际统计中，往往以样本代替反映整体，这时要用的就是你问的（n-1），表示的是样本能自由选择的程度（当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1）。具体什么时候用哪个做分母，原则如下：
如是总体，标准差公式根号内除以n
如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)
因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)

其实可以这么看，我们统计标准差是为了计算总体或样本的波动性。如果只有一个样本，有偏估计算出来的s为0，无偏估计算出来的s为1(也就是没有波动)；样本数为2的时候，有偏估计s把两个样本的差距还除了个2，而无偏估计s就是两个样本的差距，可以看出研究样本的时候无偏估计的计算结果更符合直觉。
再换一个角度想一下，2个样本的时候，他们的差距就是波动性，不需要再除以2；
3个样本也是第一个样本和后面两个样本的差距代表波动性，只比了2次所以是除以2而不是除以3；
n个样本也是某一个样本和其他n-1个样本比，比了n-1次而不是n次，所以除以n-1。

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