【2016浙江省赛：区间取模】E ： Modulo Query

2016浙江省赛：E 题 Modulo Query

【难度】

4.5/104.5/104.5/10
据说是卡银题？感觉有点难

【题意】

F(i,X)={XmodA1i=1F(i−1,X)modAi2≤i≤NF(i,X)= \begin{cases} X\mod A_1\quad i=1\\ F(i-1,X)\mod A_i \quad 2\le i\le N \end{cases} F(i,X)={XmodA1i=1F(i−1,X)modAi2≤i≤N
其中，AAA是一个长度为NNN的整数数组，
XXX是不大于MMM的非负整数。

现在给你了 N,A,M,QN,A,M,QN,A,M,Q
共QQQ组询问，每组给你一个YYY
让你求出有多少个不同的XXX满足F(N,X)=Y\color{cyan}F(N,X)=YF(N,X)=Y

对于第 iii 个询问，若方案数为ZiZ_iZi
则答案累加上 i×Zii\times Z_ii×Zi
最后输出最终的累加答案取模109+710^9+7109+7即可。

【数据范围】

2≤N≤1052\le N\le 10^52≤N≤105
0≤M≤1090\le M\le 10^90≤M≤109
1≤Ai≤1091\le A_i\le 10^91≤Ai≤109
1≤Q≤1051\le Q\le 10^51≤Q≤105
0≤Yi≤1090\le Y_i\le 10^90≤Yi≤109

Time limit：2000 ms
Memory limit：65536 kB

【输入样例】

TTT样例组数
NMN\ MN M
A1⋯AnA_1\cdots A_nA1⋯An
QQQ
Y1Y_1Y1
⋮\vdots⋮
YQY_QYQ

1
3 5
3 2 4
5
0
1
2
3
4

【输出样例】

【解释】

每次查询的方案数分别为：4,2,0,0,04,2,0,0,04,2,0,0,0

【思路】

【首先考虑下暴力做法】
化简那个奇怪的递归式子，无非就是让你求：
F(N,X)=XmodA1modA2⋯modAn=YF(N,X)=X\bmod A_1\bmod A_2\cdots \bmod A_n =Y F(N,X)=XmodA1modA2⋯modAn=Y
若我们暴力枚举XXX，每次都计算出该式子的YYY,对于每个查询QQQ都这么做的话：
时间复杂度为：O(N×M×Q)=1018O(N\times M\times Q)=10^{18}O(N×M×Q)=1018

若我们计算完一次之后使用 unordered_mapunordered\_mapunordered_map 记录每个数的答案的话：
时间复杂度为：O(N×M)=1014O(N\times M)=10^{14}O(N×M)=1014

易得，我们不能单纯让X暴力枚举[0,M]，应该一段一段区间考虑\color{red}易得，我们不能单纯让X暴力枚举[0,M]，应该一段一段区间考虑易得，我们不能单纯让X暴力枚举[0,M]，应该一段一段区间考虑

【从区间考虑】

（一）考虑下面一个例子：

X属于[0,10][0,10][0,10]，A1=3A_1=3A1=3
我们简单枚举可得

YYY 查询数字	ZZZ相应答案	XXX取值
0	4	0，3，6，9
1	4	1，4，7，10
2	3	2，5，8
3	0	无

首先对于取模运算，易得：取模后一定比取模数要小。
Y≥min⁡i{Ai}时，Z=0(1)\color{red}Y\ge\underset{i}{\min}\{A_i\}时，Z=0\tag{1} Y≥imin{Ai}时，Z=0(1)
然后我们分析一下每个YYY 对应的 ZZZ 的规律。画一下图即可得知：

我们把区间[0,10][0,10][0,10] 挖成三个 [0,2][0,2][0,2]的区间和一个 [0,1][0,1][0,1]的区间。
最后计算某个YYY 的时候，我们只要计算有多少个区间是包含这个Y即可。

（二）处理区间

但是有小伙伴说：你这区间怎么快速分割呀？一遍一遍for分割时间复杂度肯定超！

我们这就等价优化一下。

操作方法：
我们把区间[0,M]转化为[1,M+1]这样，我们直接使用除法即可直接计算。最后计算Y的时候，每个区间长度再转化成从0开始的区间即可。\color{cyan}我们把区间[0,M]转化为[1,M+1]\\ \color{gray}这样，我们直接使用\pmb{除法}即可直接计算。\\ 最后计算Y的时候，每个区间长度再转化成从0开始的区间即可。我们把区间[0,M]转化为[1,M+1]这样，我们直接使用除法除法除法即可直接计算。最后计算Y的时候，每个区间长度再转化成从0开始的区间即可。
上图的例子：M=10时，区间转化为[1,11][1,11][1,11]
遇到A1=3A_1=3A1=3，该区间出现的小区间的段数为⌊11/3⌋=3\lfloor11/3\rfloor=3⌊11/3⌋=3
那么剩余的一个小区间的长度为 11mod3=211\bmod3=211mod3=2

更正式的语言描述：
若你现在有一个区间[1,P]，该区间长为P出现的次数为tim现在有一个取模数Ai，Ai<P,那么该模数会把区间进行取模分割多出来的小区间[1,Ai]增加了⌊P/Ai⌋×tim个若Ai∤P,则多出来一个额外的小区间[1,PmodAi]增加了tim个(2)若你现在有一个区间[1,P]，该区间长为\color{green}P\color{w}出现的次数为\color{green}tim\color{w}\\ 现在有一个取模数A_i，A_i<P,那么该模数会把区间进行取模分割\\ 多出来的小区间[1,A_i]增加了\color{red}\lfloor P/A_i\rfloor\times tim \color{w}个\tag{2}\\ 若 A_i\nmid P,则多出来一个额外的小区间 [1,P\bmod A_i]增加了\color{red}tim\color{w}个若你现在有一个区间[1,P]，该区间长为P出现的次数为tim现在有一个取模数Ai，Ai<P,那么该模数会把区间进行取模分割多出来的小区间[1,Ai]增加了⌊P/Ai⌋×tim个若Ai∤P,则多出来一个额外的小区间[1,PmodAi]增加了tim个(2)

由公式（1），若某个AiA_iAi 比你所拥有的区间长度还要大，那么就不必继续的区间分割了

可以使用优先队列\color{red}优先队列优先队列完成吗？显然不行\color{red}不行不行。
若我们多出来的区间[1,Ai][1,A_i][1,Ai]或者 [1,PmodAi][1,P\bmod A_i][1,PmodAi] 是已有的，那么优先队列里的相同元素会越来越多。

这样，我们使用 Map\color{red}MapMap 即可。它可以轻松记录某个区间出现的次数，可以随时O(log⁡N)O(\log N)O(logN)修改增删，并且有序，可以类似优先队列优先拿出区间较大的出来。

【小技巧：】
MapMapMap 优先拿出的是第一个元素值较小的元素，若我们往里添加某个数的负数，则可以优先拿出原来元素值较大的元素。拿出来后再取反即可。

（三）处理询问

我们怎么知道某个数字在多少个之前处理的区间范围内的？

首先，我们按区间长度由小到大排列。然后记录前缀和即可。
aa[i]表示区间长度第i小的区间的长度pre[i]记录区间次数的前缀和，pre[i]=∑ij=1aa[j]的tim\color{green}aa[i]表示区间长度第i小的区间的长度\\ pre[i]记录区间次数的前缀和，pre[i]=\underset{j=1}{\overset{i}{\sum}}aa[j]的tim aa[i]表示区间长度第i小的区间的长度pre[i]记录区间次数的前缀和，pre[i]=j=1∑iaa[j]的tim

对于某个查询的 YYY ，我们知道该数的出现次数为：

对于某个Y，该Z=pre[Tot]−pre[L]其中Total为最大的iL=max⁡i{i∣aa[i]<Y}(3)对于某个Y，该\color{red}Z=pre[Tot]-pre[L]\color{w}\\ 其中\color{w}Total为最大的i\\ \color{red}L=\underset{i}{\max}\{i\big | aa[i]<Y\}\tag{3} 对于某个Y，该Z=pre[Tot]−pre[L]其中Total为最大的iL=imax{i∣∣aa[i]<Y}(3)
注意式子(3)，不能取等于号。
我们使用 lower_bound\color{red}lower\_boundlower_bound 即可算出LLL

【核心代码】

时间复杂度：O(Nlog⁡N+Qlog⁡N)O(N\log N+Q\log N)O(NlogN+QlogN) 应该是很松的上界，紧上界可以看其他dl的证明
Time(ms)：63 （不使用快读为278ms）
Mem(MB)：1.1

/*_            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|__/ ||___/
*/
const int MAX = 1e5+50;map<ll,ll>M;
ll aa[MAX];
ll pre[10*MAX];int main()
{int T;T = read();while(T--){M.clear();int n;ll m;n = read();m = read_ll();ll bef = m + 1LL;           /// 原区间长转化为[1,M+1]M[-bef] = 1LL;              /// 添加负数即可以每次取出最长的区间for(int i=1;i<=n;++i){ll now = read_ll();if(now >= bef)continue;        /// 公式(1)bef = now;for(map<ll, ll>::iterator it = M.begin(); it != M.end();){ll chang = -it->first;ll tim   =  it->second;if(chang <= now)break;       /// 公式(1)ll more = chang / now;ll another = chang % now;map<ll, ll>::iterator itr = it;it++;M.erase(itr);                /// erase itM[-now] += tim * more;            /// 公式(2)if(another!=0)M[-another] += tim;   /// 公式(2)}}int cnt = 0;aa[0] = 0LL;for(map<ll, ll>::reverse_iterator rit = M.rbegin(); rit != M.rend();rit++){ll chang = -rit->first - 1;           /// 倒序遍历即从小到大排序ll tim   =  rit->second;aa[++cnt] = chang;pre[cnt] = pre[cnt-1] + tim;      /// 前缀和记录}ll Q;Q = read_ll();ll Z = 0LL;for(ll i = 1;i <= Q; ++i){ll y;ll ans = 0LL;y = read_ll();if(y >= bef)continue;          /// 公式(1)ll di = lower_bound(aa,aa+cnt+1,y) - aa;if(di && aa[di] >= y)di--;Z = Z + i * (pre[cnt] - pre[di]) % MOD; /// 公式(3)，乘上i是题目要求Z %= MOD;}printf("%lld\n",Z);}return 0;
}