#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;typedef unsigned int uint;/**
* 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。斐波那契数列通项公式F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。
*/uint fibonacci_seq_loop(uint n);
uint fibonacci_seq_noloop(uint n);uint fibonacci_seq_loop(uint n)
{if (n==1 or n==2)return 1U;elsereturn fibonacci_seq_loop(n-1)+fibonacci_seq_loop(n-2);
}uint fiboncci_seq_noloop(uint n)
{//F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>=3)//F(1) = F(2) = 1uint nRet;  // F(n)uint nP;    // F(n-1)uint nPp;   // F(n-2)nRet = nP = nPp = 1U;if(n==1 or n==2)return nRet;for(size_t i = 3; i <= n; i++){nRet = nP + nPp;nPp = nP;nP = nRet;}return nRet;
}uint fibonacci_format(uint n)
{return (uint)(sqrt(5.0)/5*( pow((1+sqrt(5.0))/2, n) - pow((1-sqrt(5.0))/2, n) ));
}int main()
{cout << "Fibonacci Sequence Generator" << endl;#if 10for(size_t n = 1; n < 100; n++)cout <<  n << '\t' << fiboncci_seq_noloop(n) << "\n";cout << endl;#endif#if 0for(size_t i = 1; i < 100; i++)cout << i << '\t' << fibonacci_format(i) << '\n';cout << endl;
#endifreturn 0;
}

分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：

我们可以用数学归纳法证明如下：

Step1: n=2时

Step2：设n=k时，公式成立，则有：

等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：

左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。

由Step1和Step2可知，该数学公式成立。

由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。

我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。

实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：

#include<iostream>#include<string>using namespace std;//定义2×2矩阵；struct Matrix2by2{//构造函数Matrix2by2(long m_00,long m_01,long m_10,long m_11):m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11){}//数据成员long m00;long m01;long m10;long m11;};//定义2×2矩阵的乘法运算Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2){Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;return matrix12;}//定义2×2矩阵的幂运算Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n){Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);if(n == 1){matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);}else if(n % 2 == 0){matrix = MatrixPower(n / 2);matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);}else if(n % 2 == 1){matrix = MatrixPower((n-1) / 2);matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));}return matrix;}//计算Fibnacci的第n项long Fibonacci(unsigned int n){if(n == 0)return 0;if(n == 1)return 1;Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);return fibMatrix.m00;}int main(){cout<<"Enter A Number:"<<endl;unsigned int number;cin>>number;cout<<Fibonacci(number)<<endl;return 0;}