[找规律] 三角形个数(牛客+找规律+思维+代码优化)

题目描述

链接：牛客网三角形个数

分析与代码

非常好的一道题目，我一直认为找规律、分类的题是相当重要的，这也能变向提高你的问题分析能力，思维能力，状态划分能力。本题是相当不错的题目，在小学奥数中经常让来计数。大学中就让直接求规律了啊哈哈~

分类

首先，得想到用增量的方式来考虑该问题。边场为 n 的三角形就比边长为 n - 1 的三角形多了最底边上构成的三角形，我们只需要统计这些增量三角形的个数即可。

将整个图形分为正三角形和倒三角形，来分别考虑其规律，我就在这贴官方的本次比赛的题解了：

这个分类的思想就很重要，就能将问题不重不漏的进行简化！

但是我觉得官方给的这个 Java 代码不太容易使人理解…下面我自己写了份，加了备注。

第一版代码，计算每一层的三角形增量的个数

#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 20210420, MOD = 1e9+7;LL a[N], b[N], c[N];int main() {int n = 20210411;for (LL i = 2; i <= n; i ++ ) {if (i & 1) b[i] += (b[i - 2] + (i - 1)) % MOD; // 奇数，b[i] 为第i层，且i为奇数的增量倒三角形else c[i] += (c[i - 2] + (i - 1)) % MOD; // 偶数，同理}for (LL i = 1; i <= n; i ++ ) {// 它的增量是 (i * (i + 1)) / 2，再顺手算一个前缀和a[i] += a[i - 1] + (i * (i + 1)) / 2 % MOD; // a[i] 是第1~i层的所有正三角形个数if (i & 1) a[i] += b[i]; // 这样写就很好理解了，奇数层加奇数层的倒三角else a[i] += c[i];a[i] %= MOD;}cout << a[n] << endl;return 0;
}

第二版代码，直接计算前 i 层的正三角形个数、倒三角形的个数：

#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;const LL N = 20210420, MOD = 1e9+7;LL a[N], b[N], c[N];int main() {int n = 20210411;// 每一层的正三角形个数for (LL i = 1; i <= n; i ++ ) a[i] += (a[i - 1] + (i * (i + 1) / 2)) % MOD;// 每一层新增的倒三角形个数for (LL i = 2; i <= n; i ++ ) {if (i & 1) b[i] += (b[i - 2] + (i - 1)) % MOD;          // 奇数else c[i] += (c[i - 2] + (i - 1)) % MOD;                // 偶数}for (LL i = 1; i <= n; i ++ ) b[i] = (b[i] + b[i - 1]) % MOD, c[i] = (c[i] + c[i - 1]) % MOD;cout << (a[n] + b[n] + c[n]) % MOD << endl;return 0;
}

第三版代码，在做题过程中，关于倒三角的增量公式确实是 (n-1)+(n-3)+(n-5)+... 其实完全可以用等差数列求和来得到这个增量值。

可以分两种情况：

n 为奇数的情况的时候，尾项必然是 0。
n 为偶数的情况的时候，尾项必然是 1。
故，只需要计算得到项数即可使用等差数列求和公式 n(a1+an)2\frac {n(a_1+a_n)} 22n(a1+an)。
假设项数为 kkk ，此时 d=−2d=-2d=−2，即有 (n−1)−2(k−1)≥0(n-1)-2(k-1) \geq 0(n−1)−2(k−1)≥0 简单分类讨论就能得到不论奇数还是偶数的情况项数都能统一到 (i−1)2\frac {(i-1)} 22(i−1) 。这就很妙了。代码将极大的简化~哈哈哈

#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;const LL N = 20210420, MOD = 1e9+7;LL a[N], b[N];int main() {LL n = 20210411;// 前i层的正三角形个数for (LL i = 1; i <= n; i ++ ) a[i] += (a[i - 1] + (i * (i + 1) / 2)) % MOD;// 不分奇偶，直接运用等差数列求和公式计算，b[i]为前i层的倒三角个数 for (LL i = 1; i <= n; i ++ ) {if (i & 1) b[i] = ((i + 1) / 2) * (0 + i - 1) / 2 % MOD;else b[i] = ((i + 1) / 2) * (1 + i - 1) / 2 % MOD;b[i] =(b[i] + b[i - 1]) % MOD;}cout << (a[n] + b[n]) % MOD << endl;return 0;
}

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