Warshall算法 (解决传递闭包问题)

1 传递闭包

对于任何关系 R ，R 的传递闭包总是存在的。传递关系的任何家族的交集也是传递的, R 传递闭包给出自包含 R 的所有传递关系的交集。Warshall 算法可以计算一个布尔邻接矩阵的传递闭包。

2 求关系的传递闭包可以采用矩阵的表示方法

设 A = {x1x_1x1,x2x_2x2,…,xnx_nxn}，R 为 A 上的二元关系，R 的关系矩阵为 M，那么传递闭包矩阵 M′=M+M2+...+MnM'=M+M^2+...+M^nM′=M+M2+...+Mn
（因为在 R 的关系图中，从顶点 xix_ixi 到 xjx_jxj 且不含回路的路径最多有 n 步长）
手工计算关系的传递闭包，需要不断地计算矩阵M2=M×M,M3=M2×M,......M^2=M×M,M^3=M^2×M,......M2=M×M,M3=M2×M,......
直到找到一定的规律(此处的×表示矩阵的乘法)。倘若遇到维度较大的矩阵，计算起来会十分复杂繁琐，因此我们需要借助计算机的帮助，为我们解决数学问题。

3 实例

接下来，我们通过一个实例说明。如下是一个关系图：

其邻接矩阵 M 为：
[0001111000100010]\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\ 1&1&1&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&1&0\\ \end{bmatrix}⎣⎡0100010001111000⎦⎤

经过计算，其传递闭包的矩阵 M’ 为：
[0011111100100010]\begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 1&1&1&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&1&0\\ \end{bmatrix}⎣⎡0100010011111100⎦⎤
现在我们通过代码 C++/Python 来得到 M’ ，代码输出的矩阵即为 M’ 。

算法代码（C++）:

#include <iostream>
using namespace std;
int M[100][100] = {0}; //全局变量
int N;int input(){ //输入矩阵M cout<<"please input the matrix's dimention:" ; //输入矩阵维度 cin >> N;cout<<"please input the matrix:"<<endl; //输入矩阵 for(int a = 0; a < N; a++){for(int b = 0; b < N; b++){cin >> M[a][b];if(M[a][b] !=0 && M[a][b] !=1)  //报错，矩阵元素只能是0或1 cout<<"error,the elements of the matrix have to be 0 or 1.";}}return 0;
}int output(){  //输出传递闭包矩阵 for(int a = 0; a < N; a++){for(int b = 0; b < N; b++){cout << M[a][b] << " ";} cout << endl;}
}int warshall(){   //沃舍尔算法 for (int i = 0;i < N;i++) {                  for (int j = 0;j < N;j++) {if (M[j][i]) //如果M[j][i]=1， M[j][k]<--M[j][k] V M[i][k]{for (int k = 0;k < N;k++) {M[j][k] = M[j][k] | M[i][k];//逻辑加 }}}}
}int main()
{input();warshall();cout<<"output the matrix:"<<endl;output();return 0;
}

运行效果为：

算法代码（Python）：

import numpy as np #numpy库
import copy #copy库
R = np.array([[0,0,0,1],[1,1,1,0],[0,0,1,0],[0,0,1,0]]) #输入二维数组
M = copy.deepcopy(R) #deepcopy(深度复制）复制的变量完全独立，若是copy()即浅复制
for i in range(4): #warshall算法for j in range(4):if M[j,i]==1:for k in range(4):M[j,k] = M[j,k] or M[i,k]
print(M)

运行效果为：

由算法可知，其时间复杂度为 O(n3)O(n^3)O(n3)
优点：容易理解，代码编写简单。
缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。