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逆矩阵的定义与性质

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第三讲 §2.3 逆矩阵

2.3.1 逆矩阵的定义与性质

我们已经定义了矩阵的加、减、数乘等运算,但是如果已知、,如何由矩阵方程

求出这个矩阵呢?逆矩阵的概念将会很好地解决这个问题.

定义2.3.1 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得．则称为可逆矩阵．称为的逆矩阵．

由定义可得，与一定是同阶的，而且如果可逆，则的逆矩阵是唯一的．

这是因为，如果、都是的逆矩阵，则有

，

那么

所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵的逆矩阵记作．

逆矩阵有下列性质：

(１)如果可逆，则也可逆，且．

由可逆的定义，显然有与是互逆的．

(２)如果、是两个同阶可逆矩阵，则也可逆，且．

这是因为

所以　．

这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.

(３)可逆矩阵的转置矩阵也是可逆矩阵，且．

这是因为

所以　．

(４)如果是可逆矩阵，则有．

这是因为　，两边取行列式有，

所以　　　．

2.3.2 伴随矩阵

定义2.3.2 如果阶矩阵的行列式,则称是非奇异的(或非退化的).否则,称是奇异的(或退化的).

定义2.3.3 设,是中元素的代数余子式.矩阵

称为的伴随矩阵.

定理2.3.1 矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是为非奇异矩阵,并且当可逆时,有

证明: 必要性设为可逆矩阵,则存在矩阵,有,在等式两边取行列式,得

所以.即是非奇异的.

充分性设是非奇异矩阵,则,由行列式按一行(列)展开定理有

同理可得 ,

所以可逆,并且

例1. 已知矩阵

判断是否可逆,如果可逆,求.

解: 因为

所以可逆.又

所以

设为(≥2)阶方阵,证明:当时

证明 : 当时, 有,且

又

,所以

这道题当时，在学了第三章后也可以证明。

为正整数).

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