引入

灰色模型，又称灰色理论，具有实用性强、预测结果较稳定的优点；用于大数据量的预测，数据量较小时 (多于3个)也能取得较准确的结果。
灰色预测以灰色模型为基础，其中以单序列一阶线性微分方程模型，即GM (1, 1)最为常用。

1 GM (1, 1)模型

设有原始数据序列x0=(x01,x02,⋯,x0,n)\boldsymbol{x}_0=\left(x_{01}, x_{02}, \cdots, x_{0, n}\right)x0=(x01,x02,⋯,x0,n)，nnn为数据个数，则以GM (1, 1)模型进行预测的基本步骤如下：
1）x0\boldsymbol{x}_0x0累加，以降低原始序列的波动性和随机性，获得新序列x1=(x11,x12,⋯,x1,n)\boldsymbol{x}_1=\left(x_{11}, x_{12}, \cdots, x_{1, n}\right)x1=(x11,x12,⋯,x1,n)，其中x1tx_{1t}x1t的计算如下：
x1,t=∑k=1tx0,k，t=1,2,⋯,nx_{1, t} = \sum_{k = 1}^t x_{0, k}，\ \ \ \ t = 1, 2, \cdots, n x1,t=k=1∑tx0,k， t=1,2,⋯,n 2）建立x1,tx_{1, t}x1,t的一阶线性微分方程：
dx1dt+ax1=u\frac{\mathrm{d} \bm{x}_1}{\mathrm{d} t} + a \bm{x}_1 = u dtdx1+ax1=u其中a∈[−2,2]a \in [-2, 2]a∈[−2,2]、uuu为待定系数，称为发展系数和灰色作用量，且将aaa、uuu构成的矩阵记作a^=(au)\bm{\hat{a}} = \left( \begin{array}{l}a\\u \end{array}\right)a^=(au)
3）按以下方式生成B\boldsymbol{B}B矩阵和Yn\boldsymbol{Y}_nYn向量：
B=[0.5(x11+x12)0.5(x12+x13)⋯0.5(x1,(n−1)+x1,n)]Yn=(x02,x03,⋯,x0,n)T\begin{array}{l} \boldsymbol{B} = \left[ \begin{array}{c} 0.5(x_{11} + x_{12})\\ 0.5(x_{12} + x_{13})\\ \cdots\\ 0.5(x_{1, (n - 1)} + x_{1, n})\\ \end{array} \right]\\ \\ \boldsymbol{Y}_n = (x_{02}, x_{03}, \cdots, x_{0, n})^{\mathrm{T}} \end{array} B=⎣⎢⎢⎡0.5(x11+x12)0.5(x12+x13)⋯0.5(x1,(n−1)+x1,n)⎦⎥⎥⎤Yn=(x02,x03,⋯,x0,n)T 4）使用最小二乘法求a^\bm{\hat{a}}a^：
a^=(BTB)−1BTYn\bm{\hat{a}} = (\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B})^{-1} \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{Y}_n a^=(BTB)−1BTYn 5）将a^\bm{\hat{a}}a^带入微分方程，求得：
x^1,（t+1)=(x11−ua)e−at+ua\hat{x}_{1, （t + 1)} = (x_{11} - \frac{u}{a}) e^{-at} + \frac{u}{a} x^1,（t+1)=(x11−au)e−at+au这里写作x^1,（t+1)\hat{x}_{1, （t + 1)}x^1,（t+1)是因为该值是一个近似值。
6）对函数表达式x^1,（t+1)\hat{x}_{1, （t + 1)}x^1,（t+1)及x^1,t\hat{x}_{1, t}x^1,t进行离散，并通过以下方式还原x0x_0x0原序列：
x^0,（t+1)=x^1,（t+1)−x^1,t\hat{x}_{0, （t + 1)} = \hat{x}_{1, （t + 1)} - \hat{x}_{1, t} x^0,（t+1)=x^1,（t+1)−x^1,t 7）对建立的灰色模型进行检验，步骤如下：
7.1）计算x0,tx_{0, t}x0,t与x^0,t\hat{x}_{0, t}x^0,t之间的残差e0,te_{0, t}e0,t和相对误差q(x)q (x)q(x)：
e0,t=x0,t−x^0,tq(x)=e0,tx0,t\begin{array}{c} e_{0, t} = x_{0, t} - \hat{x}_{0, t}\\ q (x) = \frac{e_{0, t}}{x_{0, t}} \end{array} e0,t=x0,t−x^0,tq(x)=x0,te0,t
7.2）求原始数据x0x_0x0的均值和方差s1s_1s1；
7.3）求e0,te_{0, t}e0,t的均值qˉ\bar{q}qˉ以及方差s2s_2s2；
7.4）计算方差比C=s2s1C = \frac{s_2}{s_1}C=s1s2
7.5）求小误差概率P=P{∣e0,t∣<0.6745s1}P = P \{ |e_{0, t}| < 0.6745 s_1 \}P=P{∣e0,t∣<0.6745s1}；
7.6）灰色模型精度检验表如下：

等级	相对误差qqq	方差比CCC	小误差概率PPP
1级	<0.01<0.01<0.01	<0.35<0.35<0.35	>0.95>0.95>0.95
2级	<0.05<0.05<0.05	<0.50<0.50<0.50	>0.80> 0.80>0.80

8）利用模型进行预测：

x^0=[x^01,x^02,⋯,x^0,n,⏟原数据的模拟x^0,(n+1),⋯,x^0,(n+m)⏟数据预测]\bm{\hat{x}}_0 = \left[ \underbrace{\hat{x}_{01}, \hat{x}_{02}, \cdots, \hat{x}_{0, n}, }_{_{_{\rm 原数据的模拟}}}\ \underbrace{\hat{x}_{0, (n + 1)}, \cdots, \hat{x}_{0, (n + m)} }_{_{_{\rm 数据预测}}}\right] x^0=[原数据的模拟x^01,x^02,⋯,x^0,n, 数据预测x^0,(n+1),⋯,x^0,(n+m)]

2 程序框架

代码实现，使用时只需给定序列和待预测数据个数：

function [hat_x] = test(x, n_pre)syms a u;  % 创建符号变量hat_a = [a, u]';  % 待定系数x1 = cumsum(x);  % 原始数据累加n = length(x);%% 生成B矩阵B = zeros(1, n - 1);for i = 1 : n - 1B(i) = (x1(i) + x1(i + 1)) / 2; endB = [-B; ones(1, n - 1)];%% 生成Y_n矩阵Y_n = x;Y_n(1) = [];Y_n = Y_n';%% 求解hat_ahat_a = inv(B * B') * B * Y_n;a = hat_a(1);u = hat_a(2);%% 预测hat_x1 = [];hat_x1(1) = x(1);for i = 2 : (n + n_pre)hat_x1(i) = (x(1) - u /a) / exp(a * (i - 1)) + u / a;endhat_x = [];hat_x(1) = x(1);for i = 2 : (n + n_pre)hat_x(i) = hat_x1(i) - hat_x1(i - 1);end
end

参考文献：
[1]：MATLAB在数学建模中的应用，卓金武等。

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Matlab与灰色模型预测

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1 GM (1, 1)模型

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