Farkas 定理的几何证明

参考书：《最优化理论与算法》陈宝林

Farkas定理是凸集分离定理的应用

Farkas定理：设A为 $m\ast n$ 矩阵，c为n维向量，则 1式： $Ax\leq 0,c^{T}x\geq 0$ 有解的充要条件是 2式： $A^{T}y=c,y\geq 0$ 无解。

证明：

将A看成m个n维行向量， $A=[a1,a2,...,an]^{T}$ ,则A构成一个经过零点的凸集S，则：

1式应用凸集分离定理，来说明c在A中n个向量张成的凸集外：

1式转置： $x^{T}A^{T}\leq 0,x^{T}c\geq 0$ ,
构造凸集S： $x^{T}(A^{T}z)\leq 0,x^{T}c\geq 0$ , 其中， $A^{T}z$ 就表示凸集S；

则，引用凸集分离定理，有超平面 $H=\left \{ X|x^{T}X=0 \right \}$ , 分离点c和凸集S：

$x^{T}(A^{T}z)\leq x^{T}c$

2式用来说明cA中n个向量张成的凸集内：

$A^{T}y=[a1,a2,...,an][y1,y2,...yn]^{T}=a1*y1+a2*y2+...+an*yn=c$

点 c 的位置只有两种可能——凸集内部和外部，故两个条件中只能有一个成立。

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