高等数学：第七章空间解析几何（2）数量积向量积混合积曲面及其方程

§7.4 数量积向量积混合积

一两向量的数量积

1 向量的数量积定义

设物体在常力的作用下沿直线从点移到点，用表示位移向量，力在位移方向上的分力大小为，力所作的功为：

抛开这一问题的物理背景，我们可以给出一般地向量的数量积定义：

设是两向量，且它们之间的夹角为，称数量为向量的数量积，并记作，即

注明：记号又可称之为“ 点乘 ”。

据此定义，上例所求的功实际上是力与位移的数量积，即

。

因是在向量方向上的投影，若用来记这个投影，便有：

类似有：

这表明： 两向量的数量积等于其中一向量的模与另一向量在该向量方向上的投影的乘积。

这一事实的力学意义是十分鲜明的。

2、数量积的性质

(1)、

事实上，与的夹角，故

(2)、设，为非零向量，若，那么与垂直( 记作 )；反之，若，那么。

证明：

(3)、(交换律)

事实上，

(4)、(分配律)

事实上，

(5)、(数乘向量的结合律)

证明： 设向量与之间的夹角为，

若，与同方向，故与的夹角仍为，于是

若，与反方向，故与的夹角仍为，于是

若，

综合上述三点，有成立。

类似地可证明。

(6)、两向量数量积的坐标表示形式

设，则有

证明：

注明:基本单位向量有

利用向量数量积的计算公式，很容易地得到了下列向量模计算公式

(7)、两向量间夹角余弦的坐标表示式

若，，由，有

并且有

【例1】已知三点，和，求向量与之间的夹角。

解：

而

故

【例2】设液体流过平面上面积为的一个区域，液体在该区域上各点处的流速均为常向量，设为垂直于的单位向量，计算单位时间内经过该区域流向所指向一侧的液体重量 ( 设液体的比重为 )。

解：单位时间内流过区域的液体形成一个底面积为，斜高为的斜柱体，且斜高与底面垂线的夹角即为向量与之间的夹角。

所以，该斜柱体的高为，即在方向上的投影。

斜柱体的体积为

从而，单位时间内经过区域流向所指一方的液体重量为

很明显，若，即垂直于平面时，

这与我们直观的理解是一致的。

2、向量的数量积不具有结合律

一般情况下，，因此，写法是无意义的。

【反例】取，，

二两向量的向量积

1、由力矩问题引入向量的向量积

设为一根杠杆的支点，有一个力作用于这杠杆上的点处，与的夹角为，由力学知识可知，力对支点的力矩是一个向量，它的模为

而方向垂直于与所决定的平面，其指向依右手规则来决定，即当右手的四个手指从以不超过的转角转向握拳时，大拇指的指向就是力矩的指向。

这类物理问题所反映出的数学运算便是我们要定义的向量间的向量积。

【定义】设向量由向量与依下列方式定出：

的模为，其中为向量与之间的夹角；

的方向垂直于与所决定的平面，的指向按右手规则从转向(转角小于)来决定。

那么称向量为向量与的向量积，记作，即。

向量的向量积又常称作向量的叉乘，也常念作“ 叉乘”。

因此，上面的力矩等于与力的向量积，即。

2、向量积的性质

(1)、

(2)、对于非零向量与，与平行( 即)的充要条件是。

(3)、设，为两个非零向量，模在几何上表示以与为边的平行四边形的面积。

(5)、分配律

(6)、设，为实数，则

(7)、向量积的坐标表示式

设，，则有

于是，有

为了便于记忆，我们引入形式化的三阶行列式的记法。

由向量的向量积坐标表示式，可给出两向量平行的充要条件的又一形式：

这一向量平行的对称式条件，当分母有为零的元素时，应依如下规则来理解它的意义：

(1)、当中仅有一个为零时，如

则(1)式成为

因此，此时(2)式的意义应理解为

(2)、当中仅有二个为零时，如

则(1)式成为

因此，此时(2)式的意义应理解为

(3)、当时

则(1)式对于任意实数均成立

因此，此时(2)式的意义为

可取任意实数。

【例3】已知三角形的顶点是，和，求此三角形的面积。

解：

而

三向量的混合积

1、平行六面体的体积

如图所示，以，和为棱的平行六面体的体积，

应为其底面积乘以高。

底面积为，由于高垂直于底面，它可以看作向量在垂直于底面的向量上的投影，体积值为

2、向量混合积定义

设有三个向量，与，先作，将向量与作数量积，这样得到的数量称作三向量，，的混合积，并记作。

于是，平行六面体的体积为

3、向量混合积的计算

设，，，则

利用向量混合积的几何意义，我们可以得到一个十分有用的结论：

空间三向量，与共面的充要条件是。

§7.5 曲面及其方程

一曲面方程的概念

空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。

为此，我们给出如下定义：

若曲面与三元方程

(1)

有下述关系：

1、曲面上任一点的坐标均满足方程(1)；

2、不在曲面上的点的坐标都不满足方程(1)。

那么，方程(1)称作曲面的方程，而曲面称作方程(1)的图形。

下面，我们来建立几个常见的曲面方程。

【例1】球心在点，半径为的球面方程。

解：设是球面上的任一点，那么，

即：

(2)

(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。

反过来，不在球面上的点，到的距离，从而点的坐标不适合于方程(2)。

故方程(2)就是以为球心，为半径的球面方程。

若球心在原点，即，其球面方程为

【例2】设有点和，求线段垂直平分面的方程。

解：所求平面是与和等距离的点的几何轨迹，设是所求平面上任意的一点，则

即：

化简得

这便是平面的方程。

上述两例告诉我们如下事实：

作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量之间的方程一般地表示点的轨迹所形成的曲面。

因此，空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：

第一、已知曲面作为点的几何轨迹，建立该曲面的方程；

第二、已知坐标的方程，研究该方程所表示的曲面形状。

二旋转曲面

先看一个特殊的旋转曲面。

【例3】设有一条过原点，且与轴夹角为的直线，求直线绕轴旋转所产生的曲面的方程。(绕轴旋转时，始终与轴保持定角)

解：设开始位于平面，是上一点，则

当转动时，点转到点在的转动过程中，点的竖坐标满足

且点到轴的距离满足

从而

或 (3)

其中。

这表明：曲面上任一点的坐标一定满足方程(3)；反过来，如果不在曲面上，那么直线与轴的夹角就不等于，于是，点的坐标就不满足方程(3)。因此，方程(3)便是所求的曲面方程。

上述曲面称之为圆锥面，动直线与轴的交点称之为圆锥面的顶点，定角称为圆锥面的半顶角。

一般地，我们给出旋转曲面的定义如下：

一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。

显然，圆锥面是一种旋转曲面，求平面上的直线绕轴旋转所成的圆维面，只需将改成，即可得到圆锥面的方程

用类似的方法，可求出一般旋转曲面的方程。

设在平面上有一条已知曲线，它的方程为 ,将绕轴旋转一周，得到以轴为轴的旋转曲面。

设是上任一点的坐标，则 ,当点旋转到点时，总有

点到轴的距离为

将，代入方程得到

这便是所要求的旋转曲面的方程。

同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面方程为

【例4】将面上的双曲线

分别绕轴或轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程

解：

或

三柱面

先分析一个实例

【例5】方程表示怎样的曲面?

解：在面上表示圆心在原点，半径为的圆。

在空间直角坐标中，该方程不含变量，即不论取何值，只要横坐标和纵坐标适合方程的空间点均在该曲面上。也就是说，过圆上的点且平行于轴的直线都在该曲面上。

因此，曲面是由平行于轴的直线沿面上的圆移动而形成的。

这一曲面称作圆柱面。面上的圆称之为准线，那些平行于轴且过准线的直线叫做母线。

一般地，我们给出柱面的定义如下：

平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称之为柱面。定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线。

【例6】指出下列曲面是否为柱面，并画出它们的图形。

(1) (2)

(3) (4)

解：(1)、曲面可看作：以面上的直线为准线，以平行于轴的直线为母线而形成的柱面(平面)。

(2)、曲面表示母线平行于轴，以面上的曲线为准线的抛物柱面。

(3)、该曲面方程中缺少变量，故它表示母线平行于轴，而准线为面上曲线所形成的双曲柱面。

(4)、该曲面方程中缺少变量，故它表示母线平行于轴，而准线为面上的曲线所形成的柱面(平面)

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