理解分布函数(概率论)

概率论中一个非常重要的函数就是分布函数，知道了随机变量的分布函数，就知道了它的概率分布，也就可以计算概率了。

一、理解好分布函数的定义：

F(x)=P(X≤x),

所以分布函数在任意一点x的值，表示随机变量落在x点左边（X≤x)的概率。它的定义域是(-∞，+∞),值域是[0,1].

二、掌握好分布函数的性质：

（1）0≤F(x)≤1;

（2）F(+∞)=1,F(-∞)=0;

可以利用这条性质确定分布函数中的参数,例如：

设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,求常数A与B.

就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/π.

（3）单调不减；

（4）右连续性。

三、会利用分布函数求概率

在利用分布函数求概率时，以下公式经常利用。

(1)P(a<X≤b)=F(b)-F(a);

(2)P(a≤X≤b)=F(b)-F(a-0);

(3)P(a≤X<b)=F(b-0)-F(a-0);

(4)P(a<X<b)=F(b-0)-F(a);

(5)P(X=a)=F(a)-F(a-0).

以上公式的规律是：

对于左端点a，不包括它时，用函数值F(a),包括它时，用右极限F(a-0);

对于右端点b，不包括它时，用右极限F(b-0），包括它时，用函数值F(b).

四、会利用分布列或密度函数求分布函数

根据分布列求分布函数时，先将RVX的取值从小到大排好，x₁<x₂<...x_n,则分布函数是一个n+1段的分段函数：

当x_i≤x<x(_i+1)时，F(x)=p₁+p₂+...+p_i,(i=1,2,...,n)

当x<x₁时，F(x)=0.

根据分布密度求分布函数时，先考虑密度函数是几段的，如果它被x₁<x₂<...x_n分成n+1段的，则F(x)也被x₁<x₂<...<x_n分成n+1段的。

当x_i≤x<x(_i₊₁)时，F(x)=∫[-∞,x₁]f₁(x)dx+∫[x₁,x₂]f₂(x)dx+...+∫[x_i,x]f(_i₊₁)(x)dx;

当x<x₁时，F(x)=∫[-∞,x]f₁(x)dx.

五、会利用分布函数求分布列或密度函数

如果分布函数是分段常数的，则它是离散型随机变量的分布函数，应求分布列。需要确定它取什么值，以及取这些值的概率。

它取的值就是分段函数的各段端点x₁，x₂，...，x_n，因为在其它点分布函数连续，它们的概率为0。而

P(X=x_i)=F(x_i)-F(x_i-0).

如果分布函数是连续的，则它是连续型随机变量的分布函数，应求分布密度。对于F（x)的可导点，密度函数f(x)=F'(x),对于F(x)的不可导点x₀，f(x₀)的值你可以根据它周围点x的函数值自定。

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