期末复习第五、六章

第五章

大数定理
中心极限定理

大数定理：对于任意大于0的概率，只要重复独立实验的次数n充分大，几乎是必然发生的。
中心极限定理：

独立同分布的中心极限定理：均值为μ\muμ、方差为σ2>0\sigma^2 > 0σ2>0的独立同分布的随机变量XiX_iXi之和，当n足够大的时候近似服从N(μ,σ/n)N(\mu, \sigma/n)N(μ,σ/n)
利亚普诺夫定理：无论各个随即变量XkX_kXk服从什么分布，只要满足定理的条件，那么当n很大的时候，他们的和近似服从正态分布
一个名字很长我不会念的定理：我也看不懂它在说什么

第六章

随机样本、箱线图
抽样分布
χ2\chi^2χ2分布
ttt分布
FFF分布
正态分布总体的样本均值与样本方差的分布

随机样本、箱线图

术语
总体：全部可能的取值
个体：每一个可能的取值
容量：总体中个体的数量
简单随机样本：n个服从同一个分布函数的随机变量
样本p分位数：至少有npnpnp个观察值小于等于xpx_pxp，至少有n(1−p)n(1-p)n(1−p)个观察值大于等于xpx_pxp
箱线图：由箱子和直线组成的图形，基于：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值
中心位置：中位数所在的位置
散布程度：全部数据都在最大值与最小值间，区间较短表示点集中，反之较分散
对称性：看中心位置，在中间称为较为对称，在左边称之为向右倾斜，在右边称之为向左倾斜

抽样分布

在实际应用的时候并不是使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数

术语：
统计量：样本的函数
样本平均值：所有样本相加处以容量：X‾=1/n∑Xi\overline{X}=1/n \sum{X_i}X=1/n∑Xi
样本方差：1/(n−1)∑(Xi−X‾)2=1/(n−1)(∑Xi2−nX‾2)1/(n-1)\sum(X_i-\overline{X})^2=1/(n-1)(\sum{X_i^2}-n\overline{X}^2)1/(n−1)∑(Xi−X)2=1/(n−1)(∑Xi2−nX2)
样本标准差：样本方差的平方根
样本k阶矩：Ak=1/n∑XikA_k = 1/n\sum{X_i^k}Ak=1/n∑Xik
样本k阶中心矩：Bk=1/n∑(Xik−X‾)B_k=1/n\sum(X_i^k-\overline{X})Bk=1/n∑(Xik−X)
经验分布函数：与总体分布函数F(x)F(x)F(x)相对应
Fn(x)=1/n∗S(x)F_n(x)=1/n*S(x) Fn(x)=1/n∗S(x)
其中S(x)S(x)S(x)表示不大于xxx的随机变量的个数

特殊的统计量分布

χ2\chi^2χ2分布

χ2=∑nXi2\chi^2=\sum^n{X_i^2}χ2=∑nXi2，XiX_iXi相互独立且Xi∼N(0,1)X_i\sim N(0, 1)Xi∼N(0,1)
记作：χ2∼χ2(n)\chi^2\sim\chi^2(n)χ2∼χ2(n)
称为：服从自由度为n的χ2\chi^2χ2分布

E(χ2)=nE(\chi^2)=nE(χ2)=n
D(χ2)=2nD(\chi^2)=2nD(χ2)=2n

可加性：Xi2+Xj2=Xi+j2X_i^2+X_j^2=X_{i+j}^2Xi2+Xj2=Xi+j2
上α\alphaα分位点：P(χ2>χα2(n))=∫χα2(n)f(y)dy=αP(\chi^2>\chi_{\alpha}^2(n))=\int_{\chi_{\alpha}^2(n)}f(y)dy=\alphaP(χ2>χα2(n))=∫χα2(n)f(y)dy=α
n小于40，查表
n大于40，χα2(n)=1/2(zα+(2n−1))2\chi_{\alpha}^2(n) = 1/2 (z_{\alpha}+\sqrt(2n-1))^2χα2(n)=1/2(zα+(2n−1))2
其中，zαz_{\alpha}zα为标准正态分布的上α\alphaα分位点

t分布

X∼N(0,1)X\sim N(0, 1)X∼N(0,1)，Y∼χ2(n)Y\sim \chi^2(n)Y∼χ2(n)，二者相互独立，
t=X/(Y/n)t = X/\sqrt(Y/n)t=X/(Y/n)
n充分大，近似于N(0,1)N(0, 1)N(0,1)
n>1n>1n>1，E(T)=0E(T)=0E(T)=0
n>2n>2n>2，D(T)=n/(n−2)D(T)=n/(n-2)D(T)=n/(n−2)
t1−α(n)=−tα(n)t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n)t1−α(n)=−tα(n)
上α\alphaα分位点：n小于等于45查表，n大于45，tα(n)=zαt_{\alpha}(n)=z_{\alpha}tα(n)=zα

F分布

X∼χ2(ni)、Y∼χ2(n2)X\sim \chi^2(n_i)、Y\sim \chi^2(n_2)X∼χ2(ni)、Y∼χ2(n2)，
F=(U/n1)/(V/n2)F=(U/n_1)/(V/n_2)F=(U/n1)/(V/n2)=>F∼F(n1,n2)F\sim F(n_1, n_2)F∼F(n1,n2)
1/F∼F(n2,n1)1/F\sim F(n_2, n_1)1/F∼F(n2,n1)
n>2n>2n>2，E(F)=n2/(n2−2)E(F)=n_2/(n_2-2)E(F)=n2/(n2−2)
n>4n>4n>4，D(F)=(2n2(n1+n2−2))/(n2(n2−2)2(n2−4))D(F)=(2n_2(n_1+n_2-2))/(n_2(n_2-2)^2(n_2-4))D(F)=(2n2(n1+n2−2))/(n2(n2−2)2(n2−4))

正态分布样本均值和样本方差的分布

XXX均值为μ\muμ、方差为σ2\sigma^2σ2，X‾\overline{X}X为样本均值，S2S^2S2为样本方差
E(X‾=μE(\overline{X}=\muE(X=μ，D(X‾)=σ2/nD(\overline{X})=\sigma^2/nD(X)=σ2/n
E(S2)=σ2E(S^2)=\sigma^2E(S2)=σ2

X‾∼N(μ,σ2/n)\overline{X}\sim N(\mu, \sigma^2/n)X∼N(μ,σ2/n)=>(X‾−μ)/(σ/n)∼N(0,1)(\overline{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\sim N(0, 1)(X−μ)/(σ/n)∼N(0,1)
(n−1)S2/σ2∼χ2(n−1)(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)(n−1)S2/σ2∼χ2(n−1)
S2S^2S2与X‾\overline{X}X独立
(X‾−μ)/(S/n∼t(n−1)(\overline{X}-\mu)/(S/\sqrt{n}\sim t(n-1)(X−μ)/(S/n∼t(n−1)
(S12/S22)/(σ12/σ22)∼F(n1−1,n2−1)(S_1^2/S_2^2)/(\sigma_1^2/\sigma_2^2)\sim F(n_1-1, n_2-1)(S12/S22)/(σ12/σ22)∼F(n1−1,n2−1)
σ12=σ22\sigma_1^2=\sigma_2^2σ12=σ22时，公式太长了自己看课本

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