矩阵的迹（Trace）

译自维基百科

在线性代数中，方阵A(n*n)的迹定义为对角线元素的和。即：

$tr(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$

矩阵的迹表示的是特征值的和，它不随基的变化而变化。通常，这种特性可以用来定义线性算子的轨迹。（注意：迹是对方阵而言的）

举例:

A是一个方阵，如下:

$A=\bigl(\begin{smallmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 11 & 5 & 2\\ 6 & 12 & -5 \end{smallmatrix}\bigr)$

则A的迹表示为：

$tr(A)=\sum_{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=-1+5=(-5)=-1$

迹的特性：

1. 迹是满足线性映射的，即：

$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$

$tr(cA)=ctr(A)$

其中A,B 是方阵，c是常数。

$tr(A)=tr(A^{T})$

2. 矩阵乘积的迹

$tr(X^{T}Y)=tr(XY^{T})=tr(Y^{T}X)=tr(YX^{T})=\sum_{i,j}X_{ij}Y_{ij}$

$tr(P^{-1}AP)=tr(P^{-1}(AP))=tr((AP)P^{-1})=tr(A(PP^{-1}))=tr(A)$

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