一、R语言

  • 构造矩阵

    a=matrix(c(1,2,3,4),ncol=2,byrow=T)
    b=matrix(c(5,6,7,8),ncol=2,byrow=T)
    c=matrix(c(1,2,3,4),ncol=2,byrow=F) 
    function (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL) 
    data项为必要的矩阵元素，nrow为行数，ncol为列数，注意nrow与ncol的乘积应为矩阵元素个数，byrow项控制排列元素时是否按行进行，dimnames给定行和列的名称。

一、R语言

  • 构造矩阵

    a=matrix(c(1,2,3,4),ncol=2,byrow=T)
    b=matrix(c(5,6,7,8),ncol=2,byrow=T)
    c=matrix(c(1,2,3,4),ncol=2,byrow=F)
    function (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL) 
    data项为必要的矩阵元素，nrow为行数，ncol为列数，注意nrow与ncol的乘积应为矩阵元素个数，byrow项控制排列元素时是否按行进行，dimnames给定行和列的名称。

> rowname
[1] "r1" "r2" "r3"
> colname=c("c1","c2","c3","c4")
> colname
[1] "c1" "c2" "c3" "c4"
> matrix(1:12,nrow=3,ncol=4,dimnames=list(rowname,colname))c1 c2 c3 c4
r1 1 4 7 10
r2 2 5 8 11

  • 矩阵线性运算

    a+b：对应元素相加
    a-b：对应元素相减
    2*a：数与每个元素相乘
    a*b： 简单的对应元素相乘，注意不是矩阵相乘

  • 矩阵乘法

  • a%*%b：矩阵乘法（不懂矩阵乘法的百度）
  1. 若A为n×m矩阵，要得到A'B，可用函数crossprod()，该函数计算结果与t(A)%*%B相同，但是效率更高。
> A=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> t(A)%*%B[,1] [,2] [,3]
[1,]  30   70 110
[2,]  70  174 278
[3,] 110  278 446
> crossprod(A,B)[,1] [,2] [,3]
[1,]  30  70 110
[2,]  70 174 278
[3,] 110 278 446

  • 矩阵转置

    t(a)、t(b)

  • 取方阵的对角线元素

    diag(a)

  • 求方阵的迹

    在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。
    命令：sum(diag(a))

  • 构造对角矩阵

    c=diag(c(1,2,3,4))

    > diag(diag(A))[,1] [,2] [,3] [,4][1,]   1   0   0   0[2,]   0   6   0   0[3,]   0   0   11   0[4,]   0   0   0   16

  • 矩阵求逆

    solve(a)
    矩阵求逆可用函数solve()，应用solve(a, b)运算结果是解线性方程组ax = b，若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆，

    > a=matrix(rnorm(16),4,4)> a[,1]     [,2]     [,3]     [,4][1,] 1.6986019   0.5239738 0.2332094 0.3174184[2,] -0.2010667 1.0913013 -1.2093734   0.8096514[3,] -0.1797628 -0.7573283 0.2864535 1.3679963[4,] -0.2217916 -0.3754700 0.1696771 -1.2424030> solve(a)[,1]     [,2]     [,3]     [,4][1,] 0.9096360 0.54057479 0.7234861 1.3813059[2,] -0.6464172 -0.91849017 -1.7546836 -2.6957775[3,] -0.7841661 -1.78780083 -1.5795262 -3.1046207[4,] -0.0741260 -0.06308603 0.1854137 -0.6607851> solve (a) %*%a[,1]       [,2]           [,3]       [,4][1,] 1.000000e+00 2.748453e-17 -2.787755e-17 -8.023096e-17[2,] 1.626303e-19 1.000000e+00 -4.960225e-18 6.977925e-16[3,] 2.135878e-17 -4.629543e-17 1.000000e+00 6.201636e-17[4,] 1.866183e-17 1.563962e-17 1.183813e-17 1.000000e+00

  • 矩阵的行列式

  • det(a)
    det(b)
    det(c)

二、Excel(复杂不常用)

  • 定义矩阵名称
  • 矩阵加法
  • 矩阵减法
  • 矩阵数乘
  • 矩阵转置
    transpose
    Shift+Ctrl+Enter
  • 矩阵对应元素相乘
  • 矩阵乘法
    mmult
  • 矩阵的逆
    minverse
  • 矩阵的行列式
    mdeterm
  • 计算矩阵对应元素乘积之和
    sumproduct
    Shift+Ctrl+Enter

由于Excel矩阵操作比较复杂，描述起来比较麻烦，大家可以百度一下

三、Matlab

MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国The MathWorks公司出品的商业数学软件。 MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C，C++和FORTRAN）编写的程序。

MATLAB的意思是“矩阵实验室” ，因此它提供了许多创建矢量，矩阵和多维数组的便捷的方式。在MATLAB自己的语言中，一个矢量（vector）指的是一维（1×N或N×1）矩阵，在其他语言中通常被叫做数组（array）。 矩阵（matrix）通常指的是2-维数组，例如m×n数组其中m和n大于或等于1。多维数组通常指的是维数大于2的数组。

  • 第一个必须是英文字母，其组成可以是任意字母、数字、下划线，中间不可留空格、标点符号。
  • 最多只能有 63个字母，关键字和标准函数名不能用作变量。
  • 使用变量时，不需预先经过变量声明，而且所有数值变量均以预设的 double （双精度）形式储存。
  • MATLAB标准函数名必须用小写字母，所以建议定义变量、自编函数名时用小写字母。
  • 在matlab中，变量名是区分大小写的。
    特别提醒：在编程时，变量的命名是很有学问的，不要随便命名，养成变量命名的好习惯。

变量命名：

Matlab的系统预定义变量(Predefined variable)，定义变量时，不要使用这些名称！

  • Ans 计算结果默认赋值变量
  • pi：圆周率（pi只能用小写字母）
  • Inf，inf：无穷大，如1/0
  • I,j 虚数单位
  • NaN,nan： not a number 非数，如0/0
  • eps：浮点运算相对精度 eps是一个函数，eps在matlab中叫做“浮点零”，也叫matlab中的零值 ，是一个非常非常小的数，但不是0。 在程序中的应用是防止分母为零。

矩阵创建

在MATLAB中创建矩阵有以下规则：

a、矩阵元素必须在”[ ]“内；
b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,” ）隔开；
c、矩阵的行与行之间用”;” （或回车符）隔开；
d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；
e、矩阵的尺寸不必预先定义。

1. 直接输入法

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

b=[1:1:3;4:1:6;7:1:9]

第一个值为起始值，中间为公差，最后为尾值

c=[linspace(1,3,3); linspace(4,6,3); linspace(7,9,3)]

第一个值为起始值，中间为尾值，最后为列数要保持一样不然会报错

例子如下：

2.利用MATLAB函数创建矩阵

(1)ones()函数：产生全为1的矩阵
ones(3)
ones(3,4)

(2) zeros()函数：产生全为0的矩阵；
zeros(3)
zeros(3,4)

(3) rand()函数：产生在（0，1）区间均匀分布的随机阵；
rand(3)
rand(3,4)

(4) eye()函数：产生单位阵；
eye(3)

(5) randn()函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
randn(3)
randn(3,4)

(6)生成对角矩阵
diag([1,2,3,4])
diag([1,2,3,4],1)

3.利用M文件来创建矩阵

4.大矩阵的建立

5.利用小矩阵构建大矩阵
e=[a;b]
f=[a,b]

合并注意维度一样

矩阵拆分

  • 寻值： a(2,2) 、 a(1,:) 、 a(:,3) 、 a(1:2,1:2) 、 a(1,1:end) 、 a(end,end)
    部分命令，原理都是一样

矩阵运算

  • a+d
  • a-d
  • 3*a
  • a*d
  • a^2
  • b=a^0.5

部分命令运行：

注意这里的矩阵乘法与R语言不通，牢记

  • 求矩阵的逆
    a=[5,7,1;6,8,9;1,9,7]
    inv(a)
  • 矩阵除法：
  • 求行列式
    det(a)
  • 求对角线元素
    diag(a)
    diag(a,1) （1为偏移量，向右上角偏移的位数，-便是向左下角）
  • 矩阵转置
    a’
  • 矩阵开方
    sqrt(a)
    a.^0.5

矩阵点运算

在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算，如：.*、 ./、 .\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。

  • a.*b
  • a.\b
  • a./b
  • a.^2
  • a.^0.5

矩阵关系运算

<(小于)、 <=(小于或等于)、 >(大于)、 >=(大于或等于)、 ==(等于)、～=(不等于)

  • a<b
  • a<=b
  • a>b
  • a>=b
  • a==b
  • a~=b
  • a>5
  • a>=5
  • a==5

例子：

找出a中大于5的元素位置
find(b>5)

按列算1 2 3 。。。找到相应的位置

产生3阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。

A=fix((90-10+1)*rand(3)+10)
P=rem(A,3)==0

其他矩阵函数

  • 改变维数
    a=[1:12]
    reshape(a,3,4)
  • 旋转90度
    rot90(b)
  • 左右翻转
    fliplr(b) ; flipdim(b,2)
  • 上下翻转
    flipud(b) ; flipdim(b,1)
  • 上三角元素
    tril(c)
    tril(c,1)
  • 下三角元素
    triu(c)
    triu(c,-1)
  • 确定矩阵的维数
    size(b)
  • 求矩阵的迹
    trace(c)
  

  • 矩阵线性运算

    a+b：对应元素相加
    a-b：对应元素相减
    2*a：数与每个元素相乘
    a*b： 简单的对应元素相乘，注意不是矩阵相乘

  • 矩阵乘法

  • a%*%b：矩阵乘法（不懂矩阵乘法的百度）
  1. 若A为n×m矩阵，要得到A'B，可用函数crossprod()，该函数计算结果与t(A)%*%B相同，但是效率更高。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

&gt; A=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)

&gt; B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)

&gt; t(A)%*%B

<wbr /> <wbr /> <wbr /> <wbr />[,1] [,2] [,3]

[1,] <wbr /> 30 <wbr /> <wbr /> 70 110

[2,] <wbr /> 70 <wbr /> 174 278

[3,] 110 <wbr /> 278 446

&gt; crossprod(A,B)

<wbr /> <wbr /> <wbr /> <wbr />[,1] [,2] [,3]

[1,] <wbr /> <wbr />30 <wbr /> 70 110

[2,] <wbr /> <wbr />70 174 278

[3,] 110 278 446

  • 矩阵转置

    t(a)、t(b)

  • 取方阵的对角线元素

    diag(a)

  • 求方阵的迹

    在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。
    命令：sum(diag(a))

  • 构造对角矩阵

    c=diag(c(1,2,3,4))

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    &gt; diag(diag(A))

    <wbr /> <wbr /> <wbr /> [,1] [,2] [,3] [,4]

    [1,]  <wbr /> 1  <wbr /> 0  <wbr /> 0  <wbr /> 0

    [2,]  <wbr /> 0  <wbr /> 6  <wbr /> 0  <wbr /> 0

    [3,]  <wbr /> 0  <wbr /> 0  <wbr /> 11  <wbr /> 0

    [4,]  <wbr /> 0  <wbr /> 0  <wbr /> 0  <wbr /> 16

  • 矩阵求逆

    solve(a)
    矩阵求逆可用函数solve()，应用solve(a, b)运算结果是解线性方程组ax = b，若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆，

    1

    2

    3

    4

    5

    6

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    16

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    20

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    30

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    34

    35

    36

    37

    &gt; a=matrix(rnorm(16),4,4)

    &gt; a

    <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr /> [,1]  <wbr />  <wbr /> [,2]  <wbr />  <wbr /> [,3]  <wbr />  <wbr /> [,4]

    [1,] 1.6986019  <wbr /> 0.5239738 0.2332094 0.3174184

    [2,] -0.2010667 1.0913013 -1.2093734  <wbr /> 0.8096514

    [3,] -0.1797628 -0.7573283 0.2864535 1.3679963

    [4,] -0.2217916 -0.3754700 0.1696771 -1.2424030

    &gt; solve(a)

    <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr /> [,1]  <wbr />  <wbr /> [,2]  <wbr />  <wbr /> [,3]  <wbr />  <wbr /> [,4]

    [1,] 0.9096360 0.54057479 0.7234861 1.3813059

    [2,] -0.6464172 -0.91849017 -1.7546836 -2.6957775

    [3,] -0.7841661 -1.78780083 -1.5795262 -3.1046207

    [4,] -0.0741260 -0.06308603 0.1854137 -0.6607851

    &gt; solve (a) %*%a

    <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr /> [,1]  <wbr />  <wbr />  <wbr /> [,2]  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr />  <wbr /> [,3]  <wbr />  <wbr />  <wbr /> [,4]

    [1,] 1.000000e+00 2.748453e-17 -2.787755e-17 -8.023096e-17

    [2,] 1.626303e-19 1.000000e+00 -4.960225e-18 6.977925e-16

    [3,] 2.135878e-17 -4.629543e-17 1.000000e+00 6.201636e-17

    [4,] 1.866183e-17 1.563962e-17 1.183813e-17 1.000000e+00

  • 矩阵的行列式

  • det(a)
    det(b)
    det(c)

二、Excel(复杂不常用)

  • 定义矩阵名称
  • 矩阵加法
  • 矩阵减法
  • 矩阵数乘
  • 矩阵转置
    transpose
    Shift+Ctrl+Enter
  • 矩阵对应元素相乘
  • 矩阵乘法
    mmult
  • 矩阵的逆
    minverse
  • 矩阵的行列式
    mdeterm
  • 计算矩阵对应元素乘积之和
    sumproduct
    Shift+Ctrl+Enter

由于Excel矩阵操作比较复杂，描述起来比较麻烦，大家可以百度一下

三、Matlab

MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国The MathWorks公司出品的商业数学软件。 MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C，C++和FORTRAN）编写的程序。

MATLAB的意思是“矩阵实验室” ，因此它提供了许多创建矢量，矩阵和多维数组的便捷的方式。在MATLAB自己的语言中，一个矢量（vector）指的是一维（1×N或N×1）矩阵，在其他语言中通常被叫做数组（array）。 矩阵（matrix）通常指的是2-维数组，例如m×n数组其中m和n大于或等于1。多维数组通常指的是维数大于2的数组。

  • 第一个必须是英文字母，其组成可以是任意字母、数字、下划线，中间不可留空格、标点符号。
  • 最多只能有 63个字母，关键字和标准函数名不能用作变量。
  • 使用变量时，不需预先经过变量声明，而且所有数值变量均以预设的 double （双精度）形式储存。
  • MATLAB标准函数名必须用小写字母，所以建议定义变量、自编函数名时用小写字母。
  • 在matlab中，变量名是区分大小写的。
    特别提醒：在编程时，变量的命名是很有学问的，不要随便命名，养成变量命名的好习惯。

变量命名：

Matlab的系统预定义变量(Predefined variable)，定义变量时，不要使用这些名称！

  • Ans 计算结果默认赋值变量
  • pi：圆周率（pi只能用小写字母）
  • Inf，inf：无穷大，如1/0
  • I,j 虚数单位
  • NaN,nan： not a number 非数，如0/0
  • eps：浮点运算相对精度 eps是一个函数，eps在matlab中叫做“浮点零”，也叫matlab中的零值 ，是一个非常非常小的数，但不是0。 在程序中的应用是防止分母为零。

矩阵创建

在MATLAB中创建矩阵有以下规则：

a、矩阵元素必须在”[ ]“内；
b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,” ）隔开；
c、矩阵的行与行之间用”;” （或回车符）隔开；
d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；
e、矩阵的尺寸不必预先定义。

1. 直接输入法

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

b=[1:1:3;4:1:6;7:1:9]

第一个值为起始值，中间为公差，最后为尾值

c=[linspace(1,3,3); linspace(4,6,3); linspace(7,9,3)]

第一个值为起始值，中间为尾值，最后为列数要保持一样不然会报错

例子如下：

2.利用MATLAB函数创建矩阵

(1)ones()函数：产生全为1的矩阵
ones(3)
ones(3,4)

(2) zeros()函数：产生全为0的矩阵；
zeros(3)
zeros(3,4)

(3) rand()函数：产生在（0，1）区间均匀分布的随机阵；
rand(3)
rand(3,4)

(4) eye()函数：产生单位阵；
eye(3)

(5) randn()函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
randn(3)
randn(3,4)

(6)生成对角矩阵
diag([1,2,3,4])
diag([1,2,3,4],1)

3.利用M文件来创建矩阵

4.大矩阵的建立

5.利用小矩阵构建大矩阵
e=[a;b]
f=[a,b]

合并注意维度一样

矩阵拆分

  • 寻值： a(2,2) 、 a(1,:) 、 a(:,3) 、 a(1:2,1:2) 、 a(1,1:end) 、 a(end,end)
    部分命令，原理都是一样

矩阵运算

  • a+d
  • a-d
  • 3*a
  • a*d
  • a^2
  • b=a^0.5

部分命令运行：

注意这里的矩阵乘法与R语言不通，牢记

  • 求矩阵的逆
    a=[5,7,1;6,8,9;1,9,7]
    inv(a)
  • 矩阵除法：
  • 求行列式
    det(a)
  • 求对角线元素
    diag(a)
    diag(a,1) （1为偏移量，向右上角偏移的位数，-便是向左下角）
  • 矩阵转置
    a’
  • 矩阵开方
    sqrt(a)
    a.^0.5

矩阵点运算

在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算，如：.*、 ./、 .\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。

  • a.*b
  • a.\b
  • a./b
  • a.^2
  • a.^0.5

矩阵关系运算

<(小于)、 <=(小于或等于)、 >(大于)、 >=(大于或等于)、 ==(等于)、～=(不等于)

  • a<b
  • a<=b
  • a>b
  • a>=b
  • a==b
  • a~=b
  • a>5
  • a>=5
  • a==5

例子：

找出a中大于5的元素位置
find(b>5)

按列算1 2 3 。。。找到相应的位置

产生3阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。

A=fix((90-10+1)*rand(3)+10)
P=rem(A,3)==0

其他矩阵函数

  • 改变维数
    a=[1:12]
    reshape(a,3,4)
  • 旋转90度
    rot90(b)
  • 左右翻转
    fliplr(b) ; flipdim(b,2)
  • 上下翻转
    flipud(b) ; flipdim(b,1)
  • 上三角元素
    tril(c)
    tril(c,1)
  • 下三角元素
    triu(c)
    triu(c,-1)
  • 确定矩阵的维数
    size(b)
  • 求矩阵的迹
    trace(c)

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