【组合】BZOJ3505(Cqoi2014)[数三角形]题解

题目概述

求 n×mn\times m 网格中的三角形个数。

解题报告

首先肯定是用总方案数 (n3)n\choose 3 减去不合法的方案数要方便很多。但是怎么求不合法（三点共线）的方案数？

有个结论是横长为 xx 纵长为 yy 的线段中整点的个数为 gcd(x,y)+1gcd(x,y)+1 ，yy一下不难得出。

那么只要枚举 x,yx,y ，然后算出共线三角形的方案数 gcd(x,y)−1gcd(x,y)-1 ，再把这条线段放入网格（共有 (n−x+1)(m−y+1)(n-x+1)(m-y+1) 种方案）就行了。

示例程序

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;int n,m;LL ans;#define C(x) ((LL)(x)*((x)-1)*((x)-2)/6)
int gcd(int a,int b) {if (!b) return a;return gcd(b,a%b);}
int main()
{freopen("program.in","r",stdin);freopen("program.out","w",stdout);scanf("%d%d",&m,&n);n++;m++;ans=C(n*m);for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++) if (i>1||j>1){LL now=(LL)(n-i+1)*(m-j+1)*(gcd(i-1,j-1)-1);ans-=now;if (i-1&&j-1) ans-=now;}return printf("%lld\n",ans),0;
}

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